cdoj525-猴子选大王 （约瑟夫环）

http://acm.uestc.edu.cn/#/problem/show/525

猴子选大王

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有m个猴子围成一圈，按顺时针编号，分别为1到m。现打算从中选出一个大王。经过协商，决定选大王的规则如下：从第一个开始顺时针报数，报到n的猴子出圈，紧接着从下一个又从1顺时针循环报数，...，如此下去，最后剩下来的就是大王。

Input

第一行是一个正整数T表示测试数据的组数。下面共有T行，每行两个整数m和n，用一个空格隔开，分别表示猴子的个数和报数n。1≤m≤100，1≤n≤200。

Output

每组数据对应有一个输出，表示大王的编号。

Sample input and output

Sample Input	Sample Output
1 3 2	3

题解：赤裸的约瑟夫环。利用递推关系，有f[1] = 0,f[i] = (f[i-1] + K) % i;一个递推就完成，时间复杂度为O(n)。

代码：

#include <iostream>

using namespace std;

int main(){
    int n,k,T;
    cin>>T;
    while(T--){
        while(cin>>n>>k)
        {
            int ans = 0;
            for(int i=2;i<=n;i++)
                ans = (ans + k) % i;
            cout<<ans+1<<endl;
        }
    }
    return 0;
}

下面讲解下约瑟夫环的推导：

约瑟夫环是一个数学的应用问题：已知n个人（以编号1，2，3…n分别表示）围坐在一张圆桌周围；从编号为k的人开始报数，数到m的那个人出列；他的下一个人又从1开始报数，数到m的那个人又出列；依此规律重复下去，直到圆桌周围的人全部出列。

模拟算法很简单，这里说下数学递推算法。

先总结一下约瑟夫环的递推公式：

1. f[1]=0;　f[i]=(f[i-1]+m)%i; (i>1)

2. f[1]=1;　f[i]=(f[i-1]+m)%i  (i>1);   if(f[i]==0) f[i]=i;

3. P(1, m, k)=1 (i = 1);   P(i, m, k)=[P(i - 1, m, k ) + m - 1] % i + 1 (i > 1, 此处先减1是为了让模i的值不为0)

那么这三个公式有什么不同？

首先可以肯定的是这三个公式都正确。公式1，得到的是以0～n-1标注的最终序号；公式2，3得到的就是正常的1~n的序号；并且公式2和公式3其实是一个意思。

下面把公式1推导讲解一下。

公式1的推导：——————————

给出一个序列，从0～n-1编号。其中，k代表出列的序号的下一个，即k-1出列。

a 0, 1, …, k-1, k, k+1, …, n-1

那么，出列的序号是(m-1)%n，k=m%n。出列k-1后，序列变为

b 0, 1, …, k-2, k, k+1, …, n-1

然后，我们继续从n-1后延长这个序列，可以得到

c` 0, 1, …, k-2, k, k+1, …, n-1, n, n+1, …, n+k-2

我们取从k开始直到n+k-2这段序列。其实这段序列可以看作将序列b的0~k-2段移到了b序列的后面。这样，得到一个新的序列

c k, k+1, …, n-1, n, n+1, …, n+k-2

好了，整个序列c都减除一个k，得到

d 0, 1, …, n-2

c序列中的n-1, n, n+1都减除个k是什么？这个不需要关心，反正c序列是连续的，我们知道了头和尾，就能知道d序列是什么样的。

这样你看，从序列a到序列d，就是一个n序列到n-1序列的变化，约瑟夫环可以通过递推来获得最终结果。ok，继续向下。

剩下的就是根据n-1序列递推到n序列。假设在n-1序列中，也就是序列d中，我们知道了最终剩下的一个序号是x，那么如果知道了x转换到序列a中的编号x`，不就是知道了最终的结果了么？

下面我们就开始推导出序列a中x的序号是什么。

d->c，这个变换很容易，就是x+k；

c->b。从b->c，其实就是0~k-2这段序列转换为n~n+k-2这段序列，那么再翻转回去，简单的就是%n，即(x+k)%n。%n以后，k~n-1这段序列值不会发生变化，而n~n+k-2这段序列则变成了0～k-2；这两段序列合起来，就是序列b。

于是乎，我们就知道了，x`=(x+k)%n。并且，k=m%n，所以x`=(x+m%n)%n=(x+m)%n。公式1就出来了：f[i]=(f[i-1]+m)%i。当然，i=1就是特殊情况了，f[1]=0。这里还有一个小问题。也许你会迷惑为什么x`=(x+m%n)%n=(x+m)%n中的%n变成公式中f[i]=(f[i-1]+m)%i中的%i？其实这个稍微想想就能明了。我们%n就是为了从序列c转换到序列b——这是在n-1序列转换成n序列时%n；那么从n-2转换到n-1呢？不是要%(n-1)了吗？所以这个值是变量，不是常量。

好了，这个最后需要注意的就是从一开始，我们将n序列从0～n-1编号，所以依据公式1得出的序号是基于0开始的。