由堆到堆排序

堆

堆通常是一个可以被看做一棵树的数组对象。堆总是满足下列性质：

1. 堆总是一棵完全二叉树。
2. 堆中某个节点的值总是不大于或不小于其父节点的值；

将根节点最大的堆叫做最大堆或大根堆，根节点最小的堆叫做最小堆或小根堆。常见的堆有二叉堆、斐波那契堆 等。
这里主要介绍二叉堆

二叉堆的储存

上面是逻辑上结构， 下面则是实际的储存结构，我将数组和树的都从1开始编号。
以下标pos为5，即值为4的点为例
pos的父亲节点为 pos>>1 = 2, 值为3, 左儿子节点为 pos<<1 = 10 值为 10, 右儿子节点为 pos<<1|1 = 11 值为 9
这图就是一个小根堆，大根堆也就容易理解了

栗子

题目链接

题目很简单，用优先队列就能过。优先队列本质还是用堆实现的。
那我们还是用堆来实现。
根据题目要求，我们使用小根堆显然比较合适些；

//操作1 x,就将x放入数组的末尾
/*
dui[]数组用于储存堆元素
x 是要插入的元素
因为是向上更新的，所以函数名为 up
*/
void up(int x){
	dui[++len] = x;
	int pos = len;
    while(pos > 1){	//位置是1的话， 即根节点，就没必要更新了
        int fr = pos>>1;	//父亲节点的位置
        if(dui[pos] < dui[fr])		//要是小于父亲节点，就交换
            swap(dui[pos], dui[fr]);
        else
            break;
        pos>>=1;//交换后位置更新
    }
}
/*
这样，就能保证每次插入新的元素之后，dui[1] 是堆中的最小值
*/

操作 2
就直接输出 dui[1] 就好了

//操作3 移除最小的元素
/*
如果只是单纯的移除掉根节点，肯定是不行的
所以，我们就把 dui[] 数组的最后一个元素覆盖掉 根节点 ，同时还要对堆进行维护， 使之依然是 小根堆
*/
void down(){
    int pos = 1;
    dui[1] = dui[len--]; //覆盖
    while(pos<<1  <=  len){	//保证有左子节点
        int l = pos<<1, r = pos<<1|1, minn = l;	//minn 用于记录左右子节点中最小的
        if(r<=len && dui[r] < dui[l])	//在右子节点存在的情况下， 求出左右子节点中最小的
            minn++;
        if(dui[pos] > dui[minn]){	//更新维护
            swap(dui[pos], dui[minn]);
            pos = minn;
        }
        else
            break;
    }
}

本来想上图的，不过自己画的真的丑，自己随便模拟下就可以了

这样这个题目就能很轻松了水过去了

堆排序

堆排序就简单了啊,就是上面两个函数的结合啊。
上面的 操作1 就相当于 输入元素。
操作3 就不是覆盖了，是将 根节点 和 最后一个节 点交换了。

#include <bits/stdc++.h>
const int maxn = 100005;
using namespace std;
typedef long long ll;
int dui[maxn], len;	// len 堆的实际长度


void up(int pos){
    while(pos > 1){
        int fr = pos>>1;
        if(dui[pos] > dui[fr])
            swap(dui[pos], dui[fr]);
        else
            break;
        pos>>=1;
    }
}

void down(int pos){
    while(pos<<1 <= len){
        int l = pos<<1, r = pos<<1|1, minn = l;
        if(r<=len && dui[r]>dui[l])
            minn++;
        if(dui[pos] < dui[minn]){
            swap(dui[pos], dui[minn]);
            pos = minn;
        }
        else
            break;
    }
}

int main()
{
    int n;		//要排序的数组的长度
    scanf("%d", &n);
    len = n;
    for(int i=1; i<=n; i++){
        scanf("%d", &dui[i]);
        up(i);	//每次输入即插入， 要更新
    }
    for(int i=1; i<n; i++){
        swap(dui[1], dui[len]);		// 根节点 和 最后一个节 点交换
        len--;
        down(1);		//更新
    }
    for(int i=1; i<=n; i++)
        printf("%d ", dui[i]);
    return 0;
}

上面是利用小根堆， 将数组按降序排列
升序怎么办？？
数组倒着输出就好了啊

还有大根堆啊