整数划分

900. 整数划分

一个正整数n可以表示成若干个正整数之和，形如：n=n1+n2+…+nk，其中n1≥n2≥…≥nk,k≥1。
我们将这样的一种表示称为正整数n的一种划分。
现在给定一个正整数n，请你求出n共有多少种不同的划分方法。
输入格式
共一行，包含一个整数n。
输出格式
共一行，包含一个整数，表示总划分数量。
由于答案可能很大，输出结果请对109+7取模。
数据范围
1≤n≤1000
输入样例:
5
输出样例：
7

这个问题的一种做法是完全背包。另一种是直接递推，f[i][j]表示用j个数(非0)凑成i的方案数，分两种情况 j-1个数凑成i-1的方案和j个数凑成i-j的方案。第一种方案再加上一个1就是j个数和i了，第二种方案的j个数每个再加上1和就是i。我们再看这两种方案产生的新方案是否有交集，第一种方案中的最小数是1，第二种方案的最小数一定大于1，所以是没有交集的

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int mod=1e9+7;
int f[1010][1010];
int main(){
    int n;
    cin>>n;
    f[1][1]=1;
    for(int i=2;i<=n;++i){
        for(int j=1;j<=i;++j){
            f[i][j]=f[i-1][j-1];
            if(i>j) f[i][j]+=f[i-j][j];
            f[i][j]%=mod;
        }
    }
    int res=0;
    for(int i=1;i<=n;++i) res=(res+f[n][i])%mod;
    cout<<res;
    return 0;
}

放苹果

把M个同样的苹果放在N个同样的盘子里，允许有的盘子空着不放，问共有多少种不同的分法？（用K表示）5，1，1和1，5，1 是同一种分法。
我们可以通过上面的整数划分做再枚举j，0<j<n，即把n个苹果划分成小于等于j个数相加的方案数
另一种做法：f[i][j]表示j个盘子放i个苹果(盘子可以空)，f[i][j]=f[i][j-1]+f[i-j][j]。f[i][j-1]表示表示j-1个盘子放i个苹果，有至少一个盘子是空的；f[i-j][j]表示i-j个苹果放在j个盘子，可以理解为每个盘子非空，每个都拿掉一个苹果后变成f[i-j][j]

然后再扩展几种划分：

将i划分成最大数不超过j的划分方案数

1.最大数等于j：f[i-j][j]表示i-j划分成最大数不超过j的划分方案数，再在每个种划分中再加上一个j，就对应i划分成最大数是j的方案数
2.最大数小于j: f[i][j-1]表示i划分成最大数不超过j-1的划分方案数
所以：f[i][j]=f[i-j][j]+f[i][j-1]

将i划分成最小数不低于j的划分方案数

和上面一种相同
1.最大数等于j：f[i-j][j]
2.最大数大于j:f[i][j+1]
所以：f[i][j]=f[i-j][j]+f[i][j+1]