网格

题目连接：

https://www.acwing.com/problem/content/1317/

Description

某城市的街道呈网格状，左下角坐标为 A(0,0)，右上角坐标为 B(n,m)，其中 n≥m。

现在从 A(0,0) 点出发，只能沿着街道向正右方或者正上方行走，且不能经过图示中直线左上方的点，即任何途径的点 (x,y) 都要满足 x≥y，请问在这些前提下，到达 B(n,m) 有多少种走法。

Input

仅有一行，包含两个整数 n 和 m，表示城市街区的规模。
(1≤m≤n≤5000)

Output

输出一个整数，表示不同的方案总数。

Sample Input

6 6

Sample Output

132

题解

可以利用卡特兰数的这条性质：卡特兰数 Catalan number。得到(n,m)关于红线的对称点：先将所有下移一格:(n,m-1),红线过(0,0)，得到对称点：(m-1,n)，再上移一格对称点最终：(m-1,n+1)。答案为C(n+m,m)-C(n+m,m-1)。
首先求精确值，需要用到高精度，n,m比较大，需要枚举阶层质因子来求。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=10010;
int st[N],prime[N],tot,sum[N],a[N],b[N],ans[N];
void get_Prime(){
    for(int i=2;i<N;++i){
        if(!st[i]) prime[++tot]=i;
        for(int j=1;prime[j]<=N/i;++j){
            st[prime[j]*i]=1;
            if(!(i%prime[j])) break;
        }
    }
}
int calc(int x,int y){
    int cnt=0;
    while(x){
        cnt+=x/y;
        x/=y;
    }
    return cnt;
}
void mul(int arr[],int b){
    for(int i=0;i<N;++i){
        arr[i]*=b;
        if(i>0)
        arr[i]+=arr[i-1]/10,arr[i-1]%=10;
    }
}
void solve(int arr[],int a,int b){
    for(int i=1;i<=tot;++i){
        int p=prime[i];
        sum[i]=calc(a,p)-calc(b,p)-calc(a-b,p);
    }
    arr[0]=1;
    for(int i=1;i<=tot;++i){
        for(int j=1;j<=sum[i];++j){
            mul(arr,prime[i]);
        }
    }
}
void print(int arr[]){
    int i=N-1;
    while(arr[i]==0&&i>=0) --i;
    while(i>=0) cout<<arr[i--];
    puts("");
}
int main(){
    get_Prime();
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    solve(a,n+m,n);
    solve(b,n+m,m-1);
    for(int i=0;i<N;++i){
        ans[i]+=a[i]-b[i];
        if(ans[i]<0) ans[i+1]--,ans[i]+=10; 
    }
    print(ans);
    return 0;
}