观光奶牛

链接

https://www.acwing.com/problem/content/363/

题目

给定一张L个点、P条边的有向图，每个点都有一个权值f[i]，每条边都有一个权值t[i]。

求图中的一个环，使“环上各点的权值之和”除以“环上各边的权值之和”最大。

输出这个最大值。

注意：数据保证至少存在一个环。

输入格式
第一行包含两个整数L和P。

接下来L行每行一个整数，表示f[i]。

再接下来P行，每行三个整数a，b，t[i]，表示点a和b之间存在一条边，边的权值为t[i]。

输出格式
输出一个数表示结果，保留两位小数。

数据范围
(2≤L≤1000,)
(2≤P≤5000,)
(1≤f[i],t[i]≤1000)
输入样例：

5 7
30
10
10
5
10
1 2 3
2 3 2
3 4 5
3 5 2
4 5 5
5 1 3
5 2 2

输出样例：

6.00

思路

答案求一个环上(frac {sum_{i=1}^jf[i]}{sum_{i=1}^jt[i]})的最大值，那么可以通过二分枚举这个值k，如果存在答案大于等于k，那么有(sum_{i=1}^jf[i]≤k*sum_{i=1}^jt[i])，我们令每条边从u到v的边权等于(k*t[i]-f[u]),判断是否满足不等式，就相当于在这样的一个图中判断是否存在负环。
由于是在整合图中求，所以spfa开始把所有点加入队列中。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1010,M=5010;
int h[N],e[M],nex[M],f[N],q[N],idx,n,m,cnt[N];
double d[N],w[M];
bool st[N];
void add(int u,int v,int t){
    e[idx]=v;
    w[idx]=t;
    nex[idx]=h[u];
    h[u]=idx++;
}
bool spfa(double k){
    int hh=0,tt=0;
    for(int i=1;i<=n;++i){
        q[tt++]=i;
        st[i]=1;
        d[i]=0;
        cnt[i]=0;
    }
    while(hh!=tt){
        int u=q[hh++];
        if(hh==N) hh=0;
        st[u]=0;
        for(int i=h[u];~i;i=nex[i]){
            int v=e[i];
            //cout<<u<<":"<<v<<endl;
            //cout<<d[u]+k*w[i]-f[u]<<endl;
            if(d[v]>d[u]+k*w[i]-f[u]){
                //cout<<"in
";
                d[v]=d[u]+k*w[i]-f[u];
                cnt[v]=cnt[u]+1;
                if(cnt[v]==n) return true;
                if(!st[v]){
                    q[tt++]=v;
                    if(tt==N) tt=0;
                    st[v]=1;   
                }
            }
        }
    }
    return false;
}
int main(){
    memset(h,-1,sizeof h);
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;++i){
        cin>>f[i];
    }
    for(int i=1;i<=m;++i){
        int x,y,t;
        cin>>x>>y>>t;
        add(x,y,t);
    }
    double l=0,r=1000,ans=-1;
    for(int i=1;i<=100;++i){
        double mid=(l+r)/2.0;
        if(spfa(mid)){
            l=mid;
            ans=mid;
        }
        else r=mid;
    }
    printf("%.2f",ans);
    return 0;
}