给定2个集合(A)和(B)，可以任意使用(cap)、(cup)、(\)，可以任意使用(A)和(B)任意多次，最多可以得到多少本质不同的集合？对于给定n个集合的情况答案又是多少？
这个问题比较巧妙。2个集合的时候，我们最多可以把全集划分为4个区域，除(overline{Acup B})外每个区域都可以单独地取到，并且可以相互并起来
那么最后的答案就是(2^{4-1}=8)，
推广一下，就是n个集合最多能将全集划分为(2^n)个互不相交的区域，且除了(overline{cup{A_i}})外其余区域都是可以单独取到的，那么答案就是(2^{2^n-1})
若只能使用(cup)、(cap)，其余条件同1，则答案又是多少？
同样我们仍然可以划分出(2^n-1)个区域，然而不同之处在于我们无法单独地取到每个最小部分。事实上这个问题等价于求一个(left{0,1 ight}^nmapsto left{0,1 ight})的映射(f)，且这个映射满足(forall x,yinleft{0,1 ight}^n, xle yLeftrightarrow f(x)le f(y))。其中我们说(x=left(a_1,a_2,...,a_n ight)le y=(b_1,b_2,...,b_n))当且仅当(forall 1le ile n, a_ile b_i)
也就是说任意一个映射下，在(left{0,1 ight}^n)中必存在一个最大值（就是我们选择的一个结果），使得任意属于它的集合都被覆盖了。这个问题也叫(n)元单调boole函数计数
证明不相交开区间的任何族要么是有限的，要么是可数的
(forall l< r,exists qinmathbb Q s.t. qinleft(l,r ight)) 做到这一点要用到选择公理
于是存在一个双射(Smapsto mathbb Q)，于是(left|S ight|leleft|mathbb Q ight|=aleph_0)
(a)证明平面上不相交的“8”字形至多有可数多个
注意到每个"8"的两个圆圈圈住了两个有理点（这一点要用到选择公理），并且每个"8"到有理点对的映射为单射（否则存在两个不同的"8"它们相交，与题意不符），于是(|S|le|mathbb Q imesmathbb Q|=aleph_0)
(b)证明平面上不相交的"Y"字形至多有可数多个
还不会，留坑。。
(mathbb R)上的连续函数的cardinality是多少？
首先可以观察到(f(x)=c)这样的常数函数是连续的，故连续函数的cardinality至少为(aleph_1)
然后由连续函数的定义可知，(forall xin mathbb R)，都(exists left{f(a_1),f(a_2),f(a_3),dots ight})使得(fleft({limlimits_{n ightarrow infty}{a_n}} ight)=f(x))，其中(forall nin mathbb N)都有(a_nin mathbb Q)
即我们可以用可数个有理数，通过极限运算得到任意的实数。故连续函数的cardinality至多为({aleph_0}^{aleph_0}=aleph_1)
记([n]=left{\,1, 2dots n\, ight})，(nin mathbb N)，则求(|[1] imes [2] imes [3]dots|)
考虑这么一个映射(f:vec xmapsto a)，其中(a)是一个二进制数，(a)的第(k_i)位为(1)，这里(k_i=sumlimits_{j=1}^{i}vec x[i])
容易验证这是一个单射，且把(S=[1] imes[2] imes[3]dots)映射到(mathbb N)，故所求基数为(aleph_0)
证明：自然数 (1,2,3ldots n^2+1) 的任意排列都存在长度至少为 (n+1) 的严格递增或严格递减序列
由反证法，假设 (1,2,3ldots n^2+1) 的任意排列都不存在长度至少为 (n+1) 的严格递增或严格递减序列，则严格递增或严格递减数列的长度至多为 (n)。此时记 ((u_i,d_i)) 分别表示以第 (i) 个数为起点的最长严格递增/严格递减序列的长度，则根据上面的假设，(forall 1leqslant ileqslant n) 都有 (1leqslant u_i,d_ileqslant n)
于是不相同的 ((u_i,d_i)) 二元组至多有 (n imes n=n^2) 个
而总共有 (n^2+1) 个两两不同的自然数，也就是有 (n^2+1) 个位置，根据鸽笼原理其中必然有两个位置，它们对应的二元组相等
即 (exists i<j) 使得 (a_i eq a_j) 且 ((u_i,d_i)=(u_j,d_j))
若 (a_i<a_j)，则我们把 (a_i) 和以 (a_j) 为起点的最长严格递增序列放在一起，这样就形成了一个更长的严格递增序列，这和 (u_i) 的定义矛盾；
同理若 (a_i>a_j)，我们把 (a_i) 和以 (a_j) 为起点的最长严格递减序列放在一起，这样就形成了一个更长的严格递减序列，这和 (d_i) 的定义矛盾；
因此无论如何都会产生矛盾，即假设不成立，存在长度至少为 (n+1) 的严格递增或严格递减序列。