还是记一下吧，方便看博客的人(真的会有人看吗喂！)
图论基本概念
好多啊,还是英文,记不住.....
这里的图默认是有限图
点(vertex/vertices),边(edge)
边(left{x,y ight})可简记为(xy)
基本符号
(left[n ight]=left{1,dots,n ight},ninmathbb N)
(inom{n}{k}=left{{xsubseteq left[n ight]|left|x ight|=k} ight})
(inom{V}{k}=left{xsubseteq V|left|x ight|=k ight})
图(graphs)
图的严格定义由有序二元组表示,(G=(V,E))表示以(V)为点集,(E)为边集的图,这里(Esubseteq inom{V}{2})
这里的图又叫无向简单图,不含重边(multi edge)和自环(loops)
无向图中的边用集合定义，连接 (x,y) 的边实际上是 (left{;x,;y; ight})，简记为 (xy)
其中用(V(G))和(E(G))分别表示图(G)的点集，边集
有向图(directed graphs)
(G=(V,E)) 其中 (Esubseteq V^2)
有向图中的边用有序二元组定义
多重图(multi graph)
(G=(V,E)),其中(E)是一个多重集且(forall xin E)都有(xin inom{V}{2}cupinom{V}{1})
也就是可以有重边和自环
超图(hypergraph)
(G=(V,E)),其中(Esubseteq 2^V-varnothing)
也就是一条边可以连接任意多个点,这个可以用建立辅助点来理解
下面默认讨论的是简单图
相邻(adjacent/neighbors)
两个点(x,y)相邻定义为(left{x,y ight}in E)
两条边(e_1,e_2)相邻定义为(e_1cap e_2 eqvarnothing)
完全图/团(complete graphs/cliques)
对于(G=(V,E))若(forall x,yin V)都有(left{x,y ight}in E)那么称(G)是一个完全图/团
我们记含有(n)个点的完全图为(K_n)或(K^n).特别地,(K_3)叫做三角形(triangle)
独立(independent)
不相邻的点对被称为是独立(independent)的
对于图(G=(V,E))若(exists V'subseteq V)使得(forall x,yin V')都有(left{x,y ight} otin E),那么我们称点集(V')是独立集(independent set)
独立集的性质也被称为stable(不会翻,也可能是读错了)
同态(homomorphism)和同构(isomorphism)
考虑两个图(G=(V,E))和(G'=(V',E')),若存在映射(f:Vmapsto V')使得(forall x,yin V)都有(left{x,y ight}in ERightarrow left{f(x),f(y) ight}in E'),那么我们称(G)和(G')同态
若同态映射同时是一个双射(bijection),那么就得到了一个(G)和(G')的同构,写作(Gsimeq G')
很显然(G)与(G')同构(iff)(G)与(G')同态(and G')与(G)同态,且易得同构是一个等价关系(equivalence relation)
在不关注点和边的标号时,我们认为同构的图相等,此时记作(G=G')
图的运算
一下记 (G=(V,E)),(G'=(V',E'))
图的并交补
定义(Gcup G'=(Vcup V',Ecup E')),交同理
若(Gcap G'=varnothing)则称它们不相交(disjoint)
定义(overline G=(V,inom{V}{2}-E))为图(G)的补图(complement)
子图(subgraph)
若(Vsubseteq V'and Esubseteq E'),则说(G)是(G')的子图,记作(Gsubseteq G')
导出子图(induced subgraph)
若(Gsubseteq G'and forall x,yin V(xyin Eiff xyin E')),则称(G)是(G')的导出子图,记作(G=G'[V]=G'[V(G)])
生成图/支撑子图
若(G=G'[V(G')]),则称(G)是(G')的一个生成图/支撑子图
连通分支/分量(component)
极大的连通子图被称为一个连通分支/连通分量
图的特性(property)
若(G'subseteq Gand G'simeq H),则记(P(G,H)=1),表示图(G)具有特性(H);否则为(0),表示不具有该特性
极大/极小图(maximal/minimal)
我们称一个(G')的子图(G)是具有某类特性的极大子图意味着:
(forall G''subseteq G),都有(P(G',H)=1and P(G'',H)=0)
极小同理.类似的定义还可以用在边的数量上/图的size上等等
图的乘法
若(G)和(G')不交,则定义(G*G'=(Vcup V',left{xy|xyin Eor xyin E'or (xin Vand yin V') ight}))
比如说(K_2*K_3=K_5)
line graph(不会翻)
对于图(G=(V,E)),构造图(G'=(E,E')),其中(xyin E'iff) 边(x)和边(y)在(G)中相邻
邻点(set of neighbours)
对于图(G)中的点(v),定义(N_G(v)=left{x|xyin E ight}),把这个集合称为(v)的邻点集
度数(degree/valency)
定义图(G)上点(v)的度数为(d_G(v)=|E(v)|),其中(E(v)=left{xv|xvin E ight})
度数为(0)的点被称为孤立点(isolated vertex)
记(delta(G)=maxleft{d_G(v)|vin V ight})
记(Delta(G)=maxleft{d_G(v)|vin V ight})
正则图(regular graph)
我们称所有点度数相等的图为正则图.所有点度数为(k)的图称为(k-)正则图
显然有(G)是正则图(iffdelta(G)=Delta(G))
特殊地,(3-)正则图也叫做cubic
距离(distance)
(x,y) 之间的距离定义为 (min{xPy})，(P) 为一条 (x-y) 路。距离记作 ( ext{dist}(x,y))
直径(diameter)
图 (G) 的直径定义为 (max{( ext{dist}(x,y))})，记作 ( ext{diam} ;G)
半径(radius)
定义半径为 (minlimits_{xin V(G)}maxlimits_{yin V(G)}{ ext{dist}(x,y)})，记作 ( ext{rad}; G)
取到半径的端点记作中心点(central vertex)
森林(forest)
森林是无圈图
树(tree)
树是连通的森林
代数基础
考虑集合 (left{;0,1; ight}) 和其上模2的加法、乘法运算，容易验证这是一个数域，记作 (F_2)。
考虑 (V={F_2}^{|G|})，(V) 中的元素都是长度为 (|G|) 的01向量，很显然 (V) 是 (F_2) 上的线性空间，我们称之为点空间
类似的考虑 (E={F_2}^{||G||})，这是边空间
不难发现 (V) 中的每个向量对应着一个顶点的集合(特征函数)，(E) 有类似的结论。
(E) 有一个特殊的子空间 (C)，(C) 中是所有圈组成的线性空间。