转自： https://blog.csdn.net/Akatsuki__Itachi/article/details/80030929
有这样一类题目，求的是区间内的第k大数。
划分树的定义就是对整体的区间进行划分，把相对于原来序列中较小的值放在左子树，较大的放在右子树，最后按照它的性质进行查询以此找到要查询的区间里的第k大数。
例图（图是偷的~~~）
1.建树
建树是一个不停递归的过程
第一步：首先我们要根据排序后的数组找到当前层数的中值（中值即中位数。注意，是中位数，不是中间的数），将没有排序的序列（即输入的原序列）里面的数这样安排：小于中位数的放进左子树，大于等于中位数的放进右子树。当然了，这是针对中值只有唯一一个时候的做法，一会再说多个中值应该怎么处理。
第二步：对于每一个子区间，我们都采用第一步的方法去划分，直到左右区间相等的时候，即为终止递归的条件。
第三步：在我们向左子树里放数的时候，我们还要统计出区间 [left,right ] 里有多少个数进入了左子树（这个主要用于查询操作）。
在划分树的时候，有几点需要注意：
1.建树是分层的，所以我们要用二维数组去存储，第一维只需要20就够了，因为100000的数据量的话，它的层数为logN。
2.划分的标准是中值，在第一步里已经特别强调过。
3.划分的数永远存放在它的下一层，为什么呢？下面举个例子模拟一下过程就知道了。
那么下面先列出我们要用到的数组：
const int MAXL(1e5);
int tree[20][MAXL+50];//第一维代表当前的树的层数，
//第二维代表这一层经过划分后的序列值
int toLeft[20][MAXL+50];//第一维代表当前的树的层数，
//第二维代表当前层区间[left,right]进入左子树的数目
int sorted[MAXL+50];//将初始序列排序后的数组- 1
- 2
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- 4
- 5
- 6
按照图中给出的原始序列为
4 2 5 7 1 8 3 6- 1
排序后的序列为
1 2 3 4 5 6 7 8- 1
那么我们tree [ 0 ]保存的应该是原始序列
并且得到toLeft [ 0 ] 的序列
tree[0] = 4 2 5 7 1 8 3 6
toLeft[0]= 1 2 2 2 3 3 4 4
- 1
- 2
- 3
再次强调一遍
toLeft [ i ] [ j ] 存的是 第 i 层，当前划分区间【 left , right 】里进入左子树的个数
至于为什么要这么存，一会说查询的时候就知道了。
模拟一下划分过程
首先是第一层，找到中值4 （ sorted[ ( left + mid) / 2 ] ）
那么tree [ 1 ] 和toLeft [ 1 ] 应该是
tree[1]= 4 2 1 3 5 7 8 6
toLeft[1]= 0 1 2 2 1 1 1 2- 1
- 2
可能这里有人注意到问题了，为什么把4划分到了左区间？上面不是说大于等于中值的划分到右区间吗？ 别急-
第二层，分别对左子树和右子树按照上述的方法划分
tree[2]= 2 1 4 3 5 6 7 8
toLeft[2]= 0 1 0 1 1 1 1 1 - 1
- 2
在这里再啰嗦地解释一下这一组的toLeft数组
很明显这一组的 2 1 4 3 5 6 7 8
分别在左 右 左 右 子树
那么对于左子树里的 2 1这个小区间，进入下一层左子树的数分别为 0 1
对于右子树 4 3 这个小区间，进入下一层左子树的数分别为 0 1
…
…
第三层
tree[3]= 1 2 3 4 5 6 7 8
toLeft[3]= 0 0 0 0 0 0 0 0- 1
- 2
下面开始说另外一个要注意的问题：有多个中值怎么办？
因为我们要使得左右区间的数量尽可能的均等
所以在这里，我们用一种特殊的处理方法。
在还没有进行划分之前，我们先假设中值左边的数据都小于中值。
即 设置一个suppose = mid - left + 1。
如果当前的数小于中值,就使suppose减一，即
if(tree[level][i]<sorted[mid]
suppose--;- 1
- 2
如果结果如我们假设的那样，那么suppose最后一定等于1，否则，就说明中值的数量不唯一。那么在下面进行的时候，如果还剩suppose>1，就先把中值放在左子树，直到suppose为0，如果仍还有中值，就把剩下的放进右子树。
通过这样操作，就能均分左右子树了。
再举个例子增深理解：
3 3 4 4 4 5 7
中值为4，左子树要放4个（(1+7)/2），右子树放3个
处理后的suppose为2
那么遇到第一个4，放进左子树，suppose=1;
遇到第二个4，放进左子树，suppose=0；
遇到第三个4,这时suppose已经等于0，所以放进右子树。
终于可以上建树的代码了
void Build_tree(int level,int left,int right)//level为当前层
{
if(left==right)//左右区间相等为终止条件
return ;
int mid=(left+right)>>1;
int suppose=mid-left+1;//设定suppose的初值
for(int i=left; i<=right; i++)
if(tree[level][i]<sorted[mid])//处理suppose
suppose--;
int subLeft=left,subRight=mid+1;//进入下层左右子树的下标
for(int i=left; i<=right; i++)
{
if(i==left)//初始化
toLeft[level][i]=0;
else//初始化
toLeft[level][i]=toLeft[level][i-1];
if(tree[level][i]<sorted[mid]||tree[level][i]==sorted[mid]&&suppose>0)
{//这就是上面说的处理多个中值的情况，放在一起了
tree[level+1][subLeft++]=tree[level][i];//将数放在下一层
toLeft[level][i]++;//进入左子树的数目+1
if(tree[level][i]==sorted[mid])
suppose--;//继续处理suppose
}
else//进入右子树
tree[level+1][subRight++]=tree[level][i];
}
Build_tree(level+1,left,mid);//递归
Build_tree(level+1,mid+1,right);//递归
}
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在建好树之后，接下来就是查询的问题。
假设初始大区间为【left , right】，要查询的区间为【qLeft , qRight】
现在要查询区间【qLeft , qRight】的第k大数
我们的想法是，先判断【qLeft , qRight】在【left , right】的哪个子树中，然后找出对应的小区间和k，然后递归查找，直到小区间qLeft==qRight时为止。
那如何解决这个问题呢？这时候前面记录的进入左子树的元素个数就派上用场了。通过之前的记录可以知道，在区间【left , qLeft】中有toLeft [ level ] [ qLeft - 1 ] 个元素进入了左子树，记它为lef，同理，在区间【left , qRight】中有toLeft [ level ] [ qRight ] 个元素进入了左子树，记它为rig ， 所以在区间【qLeft , qRight】之间就有 rig - lef 个元素进入了左子树，记为 toLef。 如果 toLef>= k ，说明 第k大元素肯定进入了左子树，那么就进入左子树查找，否则进入右子树查找。
那么接下来要解决确定小区间的问题：
如果进入的是左子树，那么小区间就应该是
【 left +( [ left,qLeft-1] )进入左子树的数目，left +（ [ left,qRight ] ）进入左子树的数目-1】
即：【 left + lef , left + lef + tolef-1 】,并且，这时候k的值不用变化。
如果进入的是右子树，那么小区间就应该是
【 mid +( [ left,qLeft-1] )进入右子树的数目+1，mid +（ [ left,qRight ] ）进入右子树的数目】
即：【 mid + qLeft - left -lef + 1 , mid + qRight - left - toLef - lef + 1 】
同时，这里的k要发生变化，变为k-（【qLeft , qRight】进入左子树的元素个数）
即 k-toLef
其中mid = ( left + right ) / 2
这里的区间式子很长，需要仔细思考。
下面举个例子（又是偷的图~~~）
献上查询的代码
//[qLeft,qRight]为查询的区间，[left,right]为原始区间
int Query(int level,int qLeft,int qRight,int left,int right,int k)
{
int mid=(left+right)>>1;
if(qLeft==qRight)//终止条件
return tree[level][qLeft];
int lef;//lef 代表[left,qLeft]进入左子树的个数
int toLef;//toLeft代表[qLeft,qRight]进入左子树的个数
if(qLeft==left)//如果和原始区间重合
lef=0,toLef=toLeft[level][qRight];
else
lef=toLeft[level][qLeft-1],toLef=toLeft[level][qRight]-lef;
if(k<=toLef)//进入左子树
{
int newLeft=left+lef;
int newRight=left+lef+toLef-1;
return Query(level+1,newLeft,newRight,left,mid,k);
}
else//进入右子树
{
int newLeft=mid+qLeft-left-lef+1;
int newRight=mid+qRight-left-toLef-lef+1;
return Query(level+1,newLeft,newRight,mid+1,right,k-toLef);
}
}
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好了，说的也差不多了。
接下来就是一个模板题
poj2104
hdu2665
这个加了一个T组样例
poj2104 AC代码
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<string>
#include<cmath>
#include<iomanip>
#include<map>
#include<stack>
#include<vector>
#include<queue>
#include<set>
#include<utility>
#include<list>
#include<algorithm>
#define max(a,b) (a>b?a:b)
#define min(a,b) (a<b?a:b)
#define swap(a,b) (a=a+b,b=a-b,a=a-b)
#define memset(a,v) memset(a,v,sizeof(a))
#define X (sqrt(5)+1)/2.0 //Wythoff
#define Pi acos(-1)
#define e 2.718281828459045
#define eps 1.0e-8
using namespace std;
typedef long long int LL;
typedef pair<int,int>pa;
const int MAXL(1e5);
const int INF(0x3f3f3f3f);
const int mod(1e9+7);
int dir[4][2]= {{-1,0},{1,0},{0,1},{0,-1}};
int tree[20][MAXL+50];
int toLeft[20][MAXL+50];
int sorted[MAXL+50];
void Build_tree(int level,int left,int right)
{
if(left==right)
return ;
int mid=(left+right)>>1;
int suppose=mid-left+1;
for(int i=left; i<=right; i++)
if(tree[level][i]<sorted[mid])
suppose--;
int subLeft=left,subRight=mid+1;
for(int i=left; i<=right; i++)
{
if(i==left)
toLeft[level][i]=0;
else
toLeft[level][i]=toLeft[level][i-1];
if(tree[level][i]<sorted[mid]||tree[level][i]==sorted[mid]&&suppose>0)
{
tree[level+1][subLeft++]=tree[level][i];
toLeft[level][i]++;
if(tree[level][i]==sorted[mid])
suppose--;
}
else
tree[level+1][subRight++]=tree[level][i];
}
Build_tree(level+1,left,mid);
Build_tree(level+1,mid+1,right);
}
int Query(int level,int qLeft,int qRight,int left,int right,int k)
{
int mid=(left+right)>>1;
if(qLeft==qRight)
return tree[level][qLeft];
int lef;
int toLef;
if(qLeft==left)
lef=0,toLef=toLeft[level][qRight];
else
lef=toLeft[level][qLeft-1],toLef=toLeft[level][qRight]-lef;
if(k<=toLef)
{
int newLeft=left+lef;
int newRight=left+lef+toLef-1;
return Query(level+1,newLeft,newRight,left,mid,k);
}
else
{
int newLeft=mid+qLeft-left-lef+1;
int newRight=mid+qRight-left-toLef-lef+1;
return Query(level+1,newLeft,newRight,mid+1,right,k-toLef);
}
}
int main()
{
int n,m;
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1; i<=n; i++)
{
scanf("%d",&tree[0][i]);
sorted[i]=tree[0][i];
}
sort(sorted+1,sorted+n+1);
Build_tree(0,1,n);
while(m--)
{
int ql,qr,k;
scanf("%d%d%d",&ql,&qr,&k);
int ans=Query(0,ql,qr,1,n,k);
cout<<ans<<endl;
}
}
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做题的过程中发现了toLeft数组的另一种存法
下面的模板代码对于toLeft【i】【j】存的是第 i 层 1到 j 进入左子树的元素个数
copy下别人的模板
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define MAX_SIZE 100005
int sorted[MAX_SIZE];//已经排好序的数据
int toleft[25][MAX_SIZE];
int tree[25][MAX_SIZE];
void build_tree(int left, int right, int deep)
{
int i;
if (left == right) return ;
int mid = (left + right) >> 1;
int same = mid - left + 1; //位于左子树的数据
for (i = left; i <= right; ++i) {//计算放于左子树中与中位数相等的数字个数
if (tree[deep][i] < sorted[mid]) {
--same;
}
}
int ls = left;
int rs = mid + 1;
for (i = left; i <= right; ++i) {
int flag = 0;
if ((tree[deep][i] < sorted[mid]) || (tree[deep][i] == sorted[mid] && same > 0)) {
flag = 1;
tree[deep + 1][ls++] = tree[deep][i];
if (tree[deep][i] == sorted[mid])
same--;
} else {
tree[deep + 1][rs++] = tree[deep][i];
}
toleft[deep][i] = toleft[deep][i - 1]+flag;
}
build_tree(left, mid, deep + 1);
build_tree(mid + 1, right, deep + 1);
}
int query(int left, int right, int k, int L, int R, int deep)
{
if (left == right)
return tree[deep][left];
int mid = (L + R) >> 1;
int x = toleft[deep][left - 1] - toleft[deep][L - 1];//位于left左边的放于左子树中的数字个数
int y = toleft[deep][right] - toleft[deep][L - 1];//到right为止位于左子树的个数
int ry = right - L - y;//到right右边为止位于右子树的数字个数
int cnt = y - x;//[left,right]区间内放到左子树中的个数
int rx = left - L - x;//left左边放在右子树中的数字个数
if (cnt >= k) {
//printf("sss %d %d %d
", xx++, x, y);
return query(L + x, L + y - 1, k, L, mid, deep + 1);
// 因为x不在区间内 所以没关系 所以先除去，从L+x开始，然后确定范围
}
else {
//printf("qqq %d %d %d
", xx++, x, y);
return query(mid + rx + 1, mid + 1 + ry, k - cnt, mid + 1, R, deep + 1);
//同理 把不在区间内的 分到右子树的元素数目排除，确定范围
}
}
int main()
{
int m, n;
int a, b, k;
int i;
while (scanf("%d%d", &m, &n) == 2) {
for (i = 1; i <= m; ++i) {
scanf("%d", &sorted[i]);
tree[0][i] = sorted[i];
}
sort(sorted + 1, sorted + 1 + m);
build_tree(1, m, 0);
for (i = 0; i < n; ++i) {
scanf("%d%d%d", &a, &b, &k);
printf("%d
", query(a, b, k, 1, m, 0));
}
}
return 0;
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