【转化，排序，二分】

问题描述

给定平面上n个点。

求两条直线，这两条直线互相垂直，而且它们与x轴的夹角为45度，并且n个点中离这两条直线的曼哈顿距离的最大值最小。

两点之间的曼哈顿距离定义为横坐标的差的绝对值与纵坐标的差的绝对值之和，一个点到两条直线的曼哈顿距离是指该点到两条直线上的所有点的曼哈顿距离中的最小值。

输入格式

第一行包含一个数n。

接下来n行，每行包含两个整数，表示n个点的坐标（横纵坐标的绝对值小于109）。

输出格式

输出一个值，表示最小的最大曼哈顿距离的值，保留一位小数。

样例输入

4
1 0
0 1
2 1
1 2

样例输出

1.0

数据规模与约定

对于30%的数据，n<=100。

对于另外30%的数据，坐标范的绝对值小于100。

对于100%的数据，n<=10^5。

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思路：由于两条直线和坐标轴夹角为45度，且相互垂直，不妨把坐标系旋转45度，使得直线和坐标轴平行。解决最大值最小这类问题一般用二分来做，二分答案，看能否构造出答案出来。问题转化为能否将所有点分成两个部分，使得其中一部分的x值之差恒小于等于d，另一部分y值之差恒小于等于d，如果能那么答案d/2就存在，否则答案不存在，据此缩小答案范围。在判断答案是否存在的时候，将点按x坐标排序，从小到大枚举x的最小值，那么x的最大值是单调递增的，那么剩下的点由前p和和后q个构成，它们的纵坐标的最大差可以一次性预处理，然后O(1)得到。总复杂度n(log n + log maxans)

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <map>
#include <queue>
#include <cmath>
#include <vector>
#include <ctime>
#define mem0(a) memset(a, 0, sizeof(a))
#define lson l, m, rt << 1
#define rson m + 1, r, rt << 1 | 1
#define define_m int m = (l + r) >> 1
#define LL long long
#define Rep(a, b) for(int a = 0; a < b; a++)
#define lowbit(x) ((x) & (-(x)))
const int dx[4] = {1, 0, -1, 0};
const int dy[4] = {0, -1, 0, 1};
const int INF = 1e9 + 7;
const double eps = 1e-3;
const double con = sqrt(2.0) / 2;
const double maxd = 1e20;
typedef double db;
using namespace std;
struct Node {
    double x, y;
    void inp() {
        int tx, ty;
        scanf("%d %d", &tx, &ty);
        x = (tx + ty) * con;
        y = (ty - tx) * con;
    }
    bool operator < (const Node &opt) const {
        return x < opt.x || x == opt.x && y < opt.y;
    }
} node[100010];
typedef double arr[100010];
arr pre_min, pre_max, suf_min, suf_max;
int n;
void Init() {
    pre_min[0] = pre_max[0] = node[0].y;
    suf_min[n - 1] = suf_max[n - 1] = node[n - 1].y;
    for (int i = 1; i < n; i++) {
        pre_max[i] = max(pre_max[i - 1], node[i].y);
        pre_min[i] = min(pre_min[i - 1], node[i].y);
    }
    for(int i = n - 2; i >= 0; i--) {
        suf_max[i] = max(suf_max[i + 1], node[i].y);
        suf_min[i] = min(suf_min[i + 1], node[i].y);
    }
}
bool Check(double d) {
    int pos = 0;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        while (pos < n - 1 && node[pos + 1].x - node[i].x <= d) pos++;
        double tmp1 = 0, tmp2 = maxd;
        if (i) {
            tmp1 = pre_max[i - 1];
            tmp2 = pre_min[i - 1];
        }
        if (pos < n - 1) {
            tmp1 = max(tmp1, suf_max[pos + 1]);
            tmp2 = min(tmp2, suf_min[pos + 1]);
        }
        if (tmp1 - tmp2 <= d) return 1;
    }
    return 0;
}
int main() {
    //freopen("in.txt", "r", stdin);
    cin >> n;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        node[i].inp();
    }
    sort(node, node + n);
    Init();
    double l = 0, r = maxd;
    while (fabs(r - l) > eps) {
        double m = (l + r) / 2;
        if (Check(m)) r = m;
        else l = m;
    }
    printf("%.1f
", l * con);
    return 0;
}