bzoj 1076 奖励关

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Description

你正在玩你最喜欢的电子游戏，并且刚刚进入一个奖励关。在这个奖励关里，系统将依次随机抛出(k)次宝物,每次你都可以选择吃或者不吃（必须在抛出下一个宝物之前做出选择，且现在决定不吃的该个宝物以后也不能再吃）。
宝物一共有(n)种，系统每次抛出这(n)种宝物的概率都相同且相互独立。也就是说，即使前(k-1)次系统都抛出宝物(1)(这种情况是有可能出现的，尽管概率非常小），第(k)次抛出各个宝物的概率依然均为(1/n)。 获取第(i)种宝物将得到(P_i)分，但并不是每种宝物都是可以随意获取的。第i种宝物有一个前提宝物集合(S_i)。只有当(S_i)中所有宝物都至少吃过一次，才能吃第(i)种宝物（如果系统抛出了一个目前不能吃的宝物，相当于白白的损失了一次机会）。注意，(P_i)可以是负数，但如果它是很多高分宝物的前提，损失短期利益而吃掉这个负分宝物将获得更大的长期利益.假设你采取最优策略，平均情况你一共能在奖励关得到多少分值？

Input

第一行为两个正整数(k)和(n)，即宝物的数量和种类。以下(n)行分别描述一种宝物，其中第一个整数代表分值，随后的整数依次代表该宝物的各个前提宝物（各宝物编号为(1)到(n)），以(0)结尾。

Output

输出一个实数，保留六位小数，即在最优策略下平均情况的得分。

Sample Input

1 2
1 0
2 0

Sample Output

1.500000

HINT

(1<=k<=100,1<=n<=15)，分值为([-10^6,10^6])内的整数。

Solution

• 考虑记忆化搜索,(dfs(k,S))表示从第(k)轮开始,当前已经取得的宝物集合为(S),还可以获得的最大期望收益.
• 枚举每种宝物(i),若该宝物不可以取,贡献为(dfs(k+1,S)/n).
• 否则,贡献为取和不取的最大值,即(Max(dfs(k+1,S),dfs(k+1,S|i)+w[i])/n.)

#include<bits/stdc++.h>
#define neginf -1e9
using namespace std;
typedef long long LoveLive;
inline int read()
{
	int out=0,fh=1;
	char jp=getchar();
	while ((jp>'9'||jp<'0')&&jp!='-')
		jp=getchar();
	if (jp=='-')
		{
			fh=-1;
			jp=getchar();
		}
	while (jp>='0'&&jp<='9')
		{
			out=out*10+jp-'0';
			jp=getchar();
		}
	return out*fh;
}
const int MAXN=16;
double f[101][1<<MAXN];
int s[MAXN];
int w[MAXN];
int n,m;
double dfs(int k,int S)//当前正在第k轮,已获得的宝物集合为S,还能获得的最大期望收益. 
{
	if(k>m)
		return 0.0;
	if(f[k][S]>neginf+1.0)
		return f[k][S];
	double &res=f[k][S];
	res=0.0;
	for(int i=1;i<=n;++i)
		{
			int flag=((S|s[i])==S);//flag表示这个数能否被选择 
			if(!flag)
				res+=dfs(k+1,S);
			else
				res+=max(dfs(k+1,S),dfs(k+1,S|(1<<(i-1)))+(double)w[i]);
		}
	res/=n;
	return res;
}
int main()
{
	m=read(),n=read();
	for(int i=1;i<=n;++i)
		{
			w[i]=read();
			while(1)
				{
					int p=read();
					if(!p)
						break;
					s[i]|=(1<<(p-1));
				}
		}
	int MAXS=(1<<n)-1;
	for(int i=1;i<=m;++i)
		for(int j=0;j<=MAXS;++j)
			f[i][j]=neginf;
	double ans=dfs(1,0);
	printf("%.6lf
",ans);
	return 0;
}