基于字典序的组合生成算法

基于字典序的组合生成算法  

2010-12-02 01:22:52|  分类： 离散数学 |  标签：离散数学  排列组合   |举报 |字号大中小 订阅

 

 

一、 问题描述

给定非空集合A，按字典序的方法生成集合A的所有组合。关于字典序的概念，这里不做严格定义，只是做一简单解释。

字典序是字符串比较的一种方法。例如两个字符串 abcd，abef，这两个字符串谁大？ 显然，abef>abcd；如何得出这个结论的呢？ 从左至右依次比较每一个字符，首先比较两个串的第一个字符，都是a，相等；其次比较两个串的第二个字符，都是b，仍然相等；比较第三个字符，分别为c和e，c<e；所以abef>abcd.

 二、问题分析

不失一般性，设A={1,2,3,4,5｝,生成A的所有３组合

A的所有3组合个数为C（５，３）＝１０ 按字典序，其组合一次为：

{ 123,124,125,134,135,145,234,235,245,345 }

    ①   ②   ③   ④    ⑤    ⑥    ⑦   ⑧   ⑨    ⑩

请仔细观察每一个组合数的，为了观察方便，我已经将每一个组合编了号。

【特别注意：任意两个连续组合数之间有什么规律？】

为了分析方便，定义两个名词：当前组合数和下一个组合数。可以将任意编号为i的组合数作为当前组合数，那么下一个组合数就是编号为i+1的组合数。                                

当前组合数	下一个 组合数	由当前组合数生成下一个 组合数的方式	思维方法
123	124	最后一位的3+1	每一个组合的都是升序
124	125	最后一位的4+1	抽象出“位置”概念
125	134	生成124，125的规则不再适用，125的个位 数5是A中的最大元素，不可再加1，考虑十 位数，是2；前3为是13，第三位即各位数 字必须比十位数字大，比十位数3大的最小 数字是4，所以125的下一个组合是134	①抽象出每一位置的最大数概念 ②提出初步假设（规则）     a.从左至右改变每一个位置 上的数字；     b.如果个位位置上的数不可 改变，改变十位位置上的数     c.高位位置上的数字改变 后，低位位置上的数字依次 增加1  .
134	135	134的最后一位4可以直接加1	验证前述假设
135	145	同125→134	验证前述假设
145	234		验证前述假设
234	235		验证前述假设
235	245		验证前述假设
245	345		验证前述假设

   

 归纳结论：

⑴ 字典序生成算法中，集合A必须是全序集合。

⑵每个组合由r个数字组成；

⑶形成两个概念：位置（各位、十位、百位……）、每个位置的最大数字

⑶从当前组合生成下一个组合时，首先变化个位数字，其次变化十位数上的位置；然后变化百位数上的位置，……

⑷个位数上的最大数字是n，十位数位置上的最大数是n-1，百位数位置上的最大数是n-2，……

⑸ 生成下一个组合数的规则

    a.从左至右改变每一个位置上的 数字；

    b.如果个位位置上的数不可改变，改变十位位置上的数

    c.高位位置上的数字改变后，低位位置上的数字一次增加1 .

 三、算法框架

      为了编程，需要设置一些变量，即定义数据结构（这个过程称为建模）。

       用数组s[]表示当前组合；用m表示当前位置；maxval表示当前位置上的最大值

      ① 初始时：当前位置m=r(个位);    maxval=n（个位上的最大值）

      ②从左向右寻找可改变数字的位置；

                 while( maxval==n ){

                          m=m-1;

                          maxval=maxval-1;

                         }

            这段代码执行后可改变数值的位置是m

      ③ 可改变数字的位置上的数字加1

             s[m]=s[m]+1

      ④ 后续每一位在前一位的基础上加1

                for(j=m+1;j<=r;j++)

                        s[j]=s[j-1]+1;

      

四、算法程序

#include<iostream>
#include<stdio.h>
void printc(int s[],int r)
{
   for(int i=1;i<=r;i++)
        printf("%d",s[i]);
         //cout<<s[i];
        printf("
");
}
long fac(int n)  //计算n的阶乘
{
  long f,i;
  f=1;
  for(i=1;i<=n;i++)
      f=f*i;
  return f;
}
void next_comb(int s[],int n,int r)
{
   int j,m,max_val;
   max_val=n;
   m=r;
   while(s[m]==max_val)
   {
         m=m-1;
         max_val=max_val-1;
   }
  s[m]=s[m]+1;
  for(j=m+1;j<r;j++)
   s[j]=s[j-1]+1;
}
int main()
{
   int s[]={0,1,2,3}; //数组s表示生成的每一个组合,第一个组合是123
   int n=5,r=3,  cnr=10;
   printc(s,r);
   cnr=fac(n)/(fac(r)*fac(n-r));
   for(int i=2;i<=cnr;i++)
   {
         next_comb(s,n,r);  //生成当前组合的下一个组合
         printc(s,r); //屏幕输出
   }
}