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  • 快速幂取余 [转]

    转自: http://blog.csdn.net/acm_code/article/details/38270829

    求a^b mod c

     算法1.

    首先直接地来设计这个算法:

    int  ans=1, i;
    for(i=1;i<=b;i++)
        ans*=a;
    ans%=c;

    这个算法的时间复杂度体现在for循环中,为O(b).

    这个算法存在着明显的问题,如果a和b过大,很容易就会溢出。

    那么,我们先来看看第一个改进方案:在讲这个方案之前,要先有这样一个公式:

    a^b mod c=(a mod c)^b

    引理:

    (a *b) mod c =[ ( a mod c )* (b mod c) ] mod c ;

    证明: 设 a mod c =d,b mod c= e;

           则:a=t*c + d ;  b=k*c + e ;

           (a*b)mod c = (t*c+d)(t*c+e)

                     = (tk c^2 + ( te+dk ) *c + d*e) mod c

                     =de mod c

    即积的取余等于取余的积的取余.

    (a ^ b)mod c 由上述公式迭代即可得到 ( a mod c)^b.

    证明了以上的公式以后,我们可以先让a关于c取余,这样可以大大减少a的大小,于是不用思考的进行了改进:

     算法2:

    int ans = 1 , i ;  
     a = a % c; //加上这一句 
     for ( i = 1;i<=b;i++) 
         ans = ans * a;  
     ans = ans % c;  

    既然某个因子取余之后相乘再取余保持余数不变,那么新算得的ans也可以进行取余,所以得到比较良好的改进版本。 

    算法3:

    int  ans = 1 ,i ;  
    a = a % c;
    for(int i = 1;i<=b;i++) 
        ans = (ans * a) % c; //这里再取了一次余 
    ans = ans % c; 

    这个算法在时间复杂度上没有改进,仍为O(b),不过已经好很多的,但是在c过大的条件下,还是很有可能超时,所以,我们推出以下的快速幂算法。 

    快速幂取余依赖于以下公式:

     

    那么我们可以得到以下算法: 

    算法4: 

    int  ans = 1 ,i ; 
    a = a % c; 
    if (b%2==1)  
    ans = (ans * a) mod c; //如果是奇数,要多求一步, 
                        可以提前算到 ans 中。
    k = (a*a) % c;  //我们取a^2 而不是a 
    for( i = 1;i<=b/2;i++) 
        ans = (ans * k) % c;  
    ans = ans % c;   

    我们可以看到,我们把时间复杂度变成了O(b/2).

    当然,这样子治标不治本。

    但我们可以看到,当我们令k = (a * a) mod c时,状态已经发生了变化,我们所要求的最终结果即为 k^(b/2) mod c

    而不是原来的a^b mod c,所以我们发现这个过程是可以迭代下去的。当然,对于奇数的情形会多出一项a mod c,所以为了完成迭代,当b是奇数时,我们通过 ans = (ans * a) % c;

    来弥补多出来的这一项,此时剩余的部分就可以进行迭代了。 

    形如上式的迭代下去后,当b=0时,所有的因子都已经相乘,算法结束。

    于是便可以在O(log b)的时间内完成了。

    于是,有了最终的算法:快速幂算法。 

    算法5:快速幂算法  

    int ans = 1;
    a = a % c; 
    while(b>0) {   
        if(b % 2 == 1)  
            ans = (ans * a) % c; 
        b = b/2; 
        a = (a * a) % c;  
    }  

    将上述的代码结构化,也就是写成函数: 

    long long  PowerMod (int a, int b, int c) 
    {  
        int  ans = 1; 
        a = a % c; 
        while(b>0) {  
            if(b % 2 = = 1) 
                ans = (ans * a) % c; 
            b = b/2;       //   b>>=1;
            a = (a * a) % c; 
        } 
        return ans; 
    }  

    本算法的时间复杂度为O(logb),能在几乎所有的程序设计(竞赛)过程中通过,是目前最常用的算法之一。 

     

    以下内容仅供参考: 

     扩展:有关于快速幂的算法的推导,还可以从另一个角度来想。 

    a^b%c 求解这个问题,我们也可以从二进制转换来考虑: 

    将10进制的b转化成2

    进制的表达式:

     

    注意此处的an要么为0,要么为1,如果为0,那么这一项就是1,这个对应了上面算法过程中b是偶数的情况;

    为1对应了b是奇数的情况.

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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/jluzhsai/p/4645915.html
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