（注：本文的相关叙述和图片摘自《数据结构与算法分析新视角》(周幸妮等)，因此本文只是我的一个复习记录，详细的论述请参考该书。）
1. 最大（小）堆
对于一个完全二叉树来说，如果所有的结点（叶子结点除外）的值都大于（小于）其左右孩子结点的值，那么这个完全二叉树就被成为一个大（小）根堆。如下图所示。按照堆的定义可以发现，堆顶结点（二叉树的根结点）一定对应整个序列中的最大（小）记录。这样一来，可以设计一种排序思路，每次将堆的堆顶记录输出，同时调整剩余的记录，使它们从新排成一个堆。重复这个过程，就能最终得到一个有序的序列，完成排序的过程，这种方法称之为堆排序。
因此，对于堆排序来说，主要有两个问题：
- 一个无序序列的所有记录如何排列成一个堆？
- 在输出了堆顶记录后，如何将剩下的记录再排成一个堆？
2. 堆排序
- 由无序序列生成堆
以序列{49,38,65,97,76,13,27,49,55,04}为例，介绍生成最小堆的思路。我们知道一棵完全二叉树的最后一个非叶子结点的索引为[n/2]，因此在本例中，选择第5个记录{76}作为初始筛选点。首先比较{76}与其左右孩子结点记录的大小，并按照筛选的结果进行交换，因此得到下图2的结果。接下来对倒数第二个非叶子结点进行处理，结果如下图3所示。重复这个步骤，可以得到一个结构完整的最小堆，如下图4所示。
(1)序列直接构成完全二叉树 (2)一次筛选之后的完全二叉树 (3)二次筛选之后的完全二叉树
(4)经过多次筛选之后的最小堆
- 堆排序
以序列{13,38,27,49,76,65,49,97}为例，介绍堆排序的思路。
初始堆 输出堆顶元素后的情形
最后一个记录暂放于堆顶 一次调整之后的情形
二次调整之后的情况 输出记录{27}之后再排成一个堆
重复上述步骤，最终就可以生成一个有序序列。
3. 相关代码
- 生成最大堆代码（最小堆类似）
1 //调整堆结点
2 //arr:数组首地址；n:结点在数组中的位置；len:数组的长度 3 void adjust_node(int *arr, int n, int len) 4 { 5 int l, r, max, tmp; 6 l = 2 * n + 1; //左右孩子的索引，注意数组下标从0开始。 7 r = 2 * n + 2; 8 max = n; 9 10 if (l<len&&arr[l]>arr[n]) 11 max = l; 12 if (r<len&&arr[r]>arr[max]) 13 max = r; 14 15 if (max != n) 16 { 17 tmp = arr[n]; 18 arr[n] = arr[max]; 19 arr[max] = tmp; 20 adjust_node(arr, max, len); //保证最大堆 21 } 22 }
- 堆排序
1 //堆排序（升序） 2 void sort_heap(int *arr, int len) 3 { 4 for (int i = len / 2; i >= 0; i--) 5 adjust_node(arr, i, len); 6 int tmp; 7 for (int i = len - 1; i >= 0; i--) 8 { 9 tmp = arr[0]; 10 arr[0] = arr[i]; 11 arr[i] = tmp; 12 adjust_node(arr, 0, i); 13 } 14 }
- 验证
1 #include <iostream> 2 using namespace std; 3 4 int main() 5 { 6 int arr[] = { 49,38,65,97,76,13,27,49,55,04 }; 7 int len = 10; 8 9 for (int i = 0; i < len; i++) 10 cout << arr[i] << ' '; 11 cout << endl; 12 15 sort_heap(arr, len); 16 17 for (int i = 0; i < len; i++) 18 cout << arr[i] << ' '; 19 cout << endl; 20 21 return 0; 22 }
输出结果：
49 38 65 97 76 13 27 49 55 4
4 13 27 38 49 49 55 65 76 97