拜占庭将军问题之口头协议

本文介绍了在将军之间直接传送口头消息(Oral Messages)时，解决拜占庭将军问题的算法OM(m)，并对其在m=1且n=4时进行了举例说明，最后对OM(m)算法进行了证明。

起源

拜占庭位于如今的土耳其的伊斯坦布尔，是东罗马帝国的首都。由于当时拜占庭罗马帝国国土辽阔，为了达到防御目的，每个军队都分隔很远，将军与将军之间只能靠信差传消息。 在战争的时候，拜占庭军队内所有将军和副官必须达成一致的共识，决定是否有赢的机会才去攻打敌人的阵营。但是，在军队内有可能存有叛徒和敌军的间谍，左右将军们的决定又扰乱整体军队的秩序。在进行共识时，结果并不代表大多数人的意见。这时候，在已知有成员谋反的情况下，其余忠诚的将军在不受叛徒的影响下如何达成一致的协议，拜占庭问题就此形成。

 

拜占庭将军问题实际上反映的是一个协议问题。 拜占庭帝国军队的将军们必须全体一致的决定是否攻击某一支敌军。问题是这些将军在地理上是分隔开来的，并且将军中存在叛徒。而这些叛徒可以采取任意的行动来破坏将军们的共识。 

 

当这个问题出现的时候，只有满足了N≥3F+1才使得该问题有解。

比如说将军总数为10，那么叛徒的个数不能大于3，即叛徒的数量不能超过三分之一。实际上这便是少数服从多数的问题。

前提

拜占庭将军问题一致性也需要一定的条件作为基础：

IC1. 所有忠诚副官遵守同一命令

IC2. 如果发令官是忠诚的，每个忠诚的副官遵守他的命令。

 

首先，为定义口头消息，拜占庭将军消息系统具有以下假设：

A1. 每个消息被正确发送。

A2. 消息的接收者知道是谁发送的消息

A3. 可以被检测到缺少消息

假设A1和A2防止叛徒干扰其他两个将军的通信，假设A3防止叛徒通过不发消息干扰一致性达成。

另外，口头协议算法要求每个将军可以与其他任意将军直接进行通信，Leslie在其原文中的第五章中描述了不需要满足这个条件的算法。

OM(m)算法

Lamport针对口头消息(Oral Messages)的情况，提出了口头协议算法OM(m)，其中m为非负。OM(m)算法是一个递归算法，用来处理在3m+1个将军中至多存在m个叛徒的情况。

默认行动：副官如果在指定时间内收不到来自司令的命令，则默认采取“撤退”行动。这是为了防止司令官为叛徒时，通过不发出命令来阻碍达成共识。

行动函数：算法假设使用majority方法作为行动函数，即当v_i的大多数为v时，则majority(v₁,...,v_{n-1})=v

注：其实对于行动函数，有两种比较容易想到的选择：

* v_i的大多数值v，如果不存在大多数采取默认行动——“撤退”；

* 如果v_i是个有序的集合，采用其中位数。

OM(m)算法：采用递归定义，下面分别说明OM(0)和OM(m)的内容。

当m=0时，

OM(0)算法

(1) 司令发送他的值给每个副官；

(2) 如果副官收到司令的值，使用这个值；否则，使用默认值——“撤退”。

当m>0时，

OM(m)算法

(1) 司令发送他的值给每个副官；

(2) 对于每个i，令v_i为副官i从司令接收到的值；如果没有收到值，则v_i采用默认值——“撤退”。在OM(m-1)算法中，副官i作为司令向另外n-2个副官(不包括OM(m)中的司令)发送值v_i。

(3) 对于每个i，对于每个j≠i的j，令v_i为副官i在第(2)步中从副官j接收的值；如果没有接收到值，则使用默认值——“撤退”。副官i用majority(v₁, ..., v_{n-1})作为其值。

举例：m=1, n=4

• 当一个副官是叛徒时

假设副官3是叛徒，下图针对副官2收到的消息对OM(1)进行阐述。

Algorithm OM(1); Lieutenant 3 a traito

第一步：司令向每个副官发送他的值v给每个副官；

第二步：副官1执行OM(0)，作为司令向副官2发送v；由于副官3是叛徒，其执行OM(0)向副官2发送了不同的值，假设为x；

第三步：副官2拥有的行动值集为{v₁, v₂, v₃}={v, v, x}，采用majority函数，副官2采取的行动值为v=majority{v₁, v₂, v₃}。

同理，副官1采取的行动指令也是v，即满足拜占庭将军问题一致性条件IC1和IC2。

• 当司令为叛徒时

下图描述了当司令为叛徒，三位副官是忠诚的情况对OM(1)算法进行阐述。

Algorithm OM(1); The commander a traitor

第一步：司令为了阻止忠诚副官达成一致，分别向三位副官发送值{x, y, z};

第二步：每个副官从司令收到的值作为自己的值，并执行OM(0)向其他副官发送；

第三步：在第三步中，每个副官拥有的值集均为{x, y, z}，因此，副官执行行动函数majority得到的结果是一样的。

由于三位忠诚的将军采取同样的行动，满足拜占庭将军一致性条件IC1。

从m=1, n=4的例子可以看出，OM(m)算法能够处理拜占庭将军问题。在OM(m)算法中，独立执行了n-1次OM(m-1)，且每个OM(m-1)算法独立执行了n-2次OM(m-2)……这就意味着，每个副官可能独立发送多轮消息。为了避免混淆，需要区分每轮消息。最易想到的方法是，每个副官i在为第(2)步的值v_i添加前缀i。可以看出，算法OM(m-k)将被调用(n-1)...(n-k)次，发送拥有k个副官序号前缀的值。

OM(m)算法证明

本节采用归纳法证明OM(m)算法能够解决拜占庭将军问题。

引理

为了证明OM(m)算法，我们首先来证明一条引理：

对于任意的m和k，如果在多于2k+m个将军中至多存在k个叛徒，则OM(m)算法满足条件IC2。

证明： 归纳法，针对参数m进行归纳。

当m=0时，根据假设A1和OM(0)算法，易得如果司令是忠诚的，忠诚的将军按照司令的指令行动，引理是成立的。

当m>0时，假设在m-1时，引理成立，下面来证明在m时，引理也成立。

在OM(m)的第一步，司令发送值v给他的n-1个副官；

在第二步，每个忠诚的副官在n-1个副官中执行OM(m-1)算法。根据假设n>2k+m，则n-1>2k+(m-1)，所以根据引理在m-1时成立，可得，每个忠诚的将军从忠诚的将军j处获得的值为v_j=v。

在第三步中，由于叛徒最多有k个，且n-1>2k+(m-1)≥2k，所以n-1个将军中的忠诚将军为大多数。所以第三步每个忠诚的将军获得值majority(v₁, ..., v_{n-1})=v，满足条件IC2。

引理得证。

证明

下面来证明算法OM(m)能够解决拜占庭将军问题。

定理 1：对于任意m，如果存在多于3m个将军中至多有m个叛徒时，OM(m)算法满足条件IC1和IC2。

证明：针对变量m采用归纳法。

当m=0时，即没有叛徒存在，则很容易证明OM(0)满足条件IC1和IC2。

假设在m-1时，定理成立，下面证明在m时，定理也成立。

• 当司令是忠诚的

令引理 1中的k=m，即多于3m个将军中至多存在m个将军时，OM(m)满足条件IC2。又因为当司令是忠诚的时，条件IC1包含在条件IC2中，所以OM(m)也满足条件IC1。

• 当司令是叛徒时

由于至多有m个叛徒，所以至多存在m-1个副官是叛徒。因为将军的数量多于3m，所以副官的数量也多于3m-1，且3m-1>3(m-1)。根据递归假设算法OM(m-1)满足条件IC1和IC2，所以在第三步，对于每个副官j，任意两个忠诚的副官得到相同的v_j。（如果副官j是两个中的一个，运用条件IC2;否则，运用条件IC1）。

所以，任意两个忠诚的副官能获得相同的指令值集{v₁, ..., v_{n-1}}，因此，在OM(m)的第三步中，忠诚将军遵从相同的值，即majority(v₁, ..., v_{n-1})。所以，算法OM(m)满足条件IC1。

综上所述，定理 1得证。

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1. Lamport L, Shostak R, Pease M. The Byzantine generals problem[J]. ACM Transactions on Programming Languages and Systems (TOPLAS), 1982, 4(3): 382-401.