并查集(Union Find)：实现及其优化(c++)

1.什么是并查集

并查集是用来管理元素分组的数据结构。可以高效进行如下操作：

• 查询元素a、b十是否在同一组
• 合并a、b所在的组

并查集可以进行合并操作但不能进行分割操作。

2.并查集的结构

并查集采用多叉树形结构实现，每个元素对应一个结点，每个组对应一棵树。重点关注结整体形成一个树形结构，而不是树的形状等信息。

3.并查集的实现

3.1 初始化

对于并查集，一般采用数组来实现，其中元素为数组的索引，其父辈为数组索引对应内容。
在初始化中，将每个元素父辈设为自己，即自己形成一组，并对用一个rank数组记录以每个元素为根的树的层数，以方便后面并查集优化的实现。

    UnionFind(int count)
    {
        parent = new int[count];
        rank = new int[count];
        this->count = count;
        for (int i = 0; i < count; ++i)
        {
            parent[i] = i;
            rank[i] = 1;
        }
    }

	1	2	3	4	5
parent	1	2	3	4	5

3.2 查找

为了查询两个节点否属于同一数组，需要采用查找两个节点的根，通过判断根是否相同来判断元素是否相同的方法。故查找用于实现查找元素的根。

在查找过程中采用路径压缩对组内进行优化，将树的层数降低，从而降低查找的复杂度，通常有两种压缩方法：

• 采用递归实现，在查询过程中向上经过的所有节点都直接连到根上，将路径压缩至如下状态，使得查找时间复杂度降为 O(1)，但路径压缩的过程则比较耗费时间。
  

    int find(int p)
    {
        assert(p >= 0 && p < count);
        /*****  路径压缩一：压缩过程耗时 *****/
        if(p != parent[p])
            parent[p] = find(parent[p]);        //递归实现路径压缩，最终find时间复杂度为 O(1)
        return parent[p];
    }

• 采用循环，在查询过程中，将当前结点的父辈更改为当前父辈的父辈，则将路径压缩至如下状态，查找时间复杂度虽然未达到最优，但压缩时间开销相对较小。
  

    int find(int p)
    {
        assert(p >= 0 && p < count);
        /*****  路径压缩二：压缩过程快，find时间复杂度未达到 O(1)   *****/
        while (p != parent[p])
        {
            parent[p] = parent[parent[p]];
            p = parent[p];
        }
        return p;
    }

3.3 合并

将一组元素的根指向另一组元素的根，就实现了元素的合并：

• 因为只要属于两个组的元素进行了合并，就相当于这两个组合并了。故两元素合并时先找到其所在组的根，再把根合并。
• 在合并过程中，需要将层数低的数指向层数高的，以有效降低合并后树的高度，这时候就用到了我们初始化时使用的 rank 数组。

    void unionElements(int p, int q)
    {   
        //合并优化，降低层数
        
        int pRoot = find(p);
        int qRoot = find(q);
        if(pRoot == qRoot)
            return;
        if(rank[pRoot] > rank[qRoot])
        {
            parent[qRoot] = pRoot;
        }
        else if(rank[pRoot] < rank[qRoot])
        {
            parent[pRoot] = qRoot;
        }
        else
        {   //rank[pRoot] == rank[qRoot]的情况
            parent[qRoot] = pRoot;
            rank[pRoot] += 1;
        }        
    }

3.4 判断两元素是否如同组

判断元素的根是否相同，具体实现如下：

    bool isconnected(int p, int q)
    {
        return find(p) == find(q);
    }

4.小结

• 通过优化后的并查集效率非常高。对于 n 个元素进行一次操作的复杂度时 O(a(n))。 a(n)时阿克曼(Ackermann)函数的反函数，比 O(log(n)) 还快。
• 在最小生成树算法 Kruskal 中，需要判断一条边的两个顶点是否属于同一个连通分量，这时候需要并查集来进行高效的判断。