算法导论--在线找女朋友问题

问题：假设你需要找一个女朋友。你先前的寻找尝试都以失败告终，所以你决定找一个相亲代理。相亲代理每天给你推荐一个女孩纸。你会面谈此人，然后决定要不要与她交往。你必须付给相亲代理一小笔费用来面谈。要真正地找到一个女朋友则要花更多的钱，因为你必须和目前的女朋友分手，还要付一大笔中介费给相亲代理。你的诺言是在任何时候，都要找到最佳人选来成为你的女朋友。因此，你决定在面谈完每个应邀的女孩纸后，如果这个女孩纸比目前的女朋友更有资格，你就会和目前的女朋友分手，然后和这个新的女朋友交往。你愿意为这种策略而付出费用，但希望能够预测这种费用会是多少。

现在我们来考虑这个问题的一个变形。假设现在我们不希望面谈所有的应邀的女孩纸来找到最好的一个，也不希望因为不断有更好的申请者出现而不停地和新人交往与旧人分手。我们愿意交往接近最好的应邀的女孩纸，只交往一次。我们必须遵守的一个要求：在每次面谈后，必须或者立即和应邀者交往，或者告诉应邀者他们将无法得到这个交往的机会。在最小化面谈次数和最大化和应邀者交往的质量两方面如何取得平衡？

解答：

可以通过以下方式来对这个问题建模。在面谈一个应邀者之后，我们能够给他一个分数；令score(i)表示给第i位应邀者的分数，并且假设没有两个应邀者的分数相同。在面谈j个应邀者之后，我们知道其中哪一个分数最高，但是不知道在剩余的n-j个应邀者中会不会有更高分数的应邀者。我们决定采用这样一个策略：选择一个正整数k<n，面谈前k个应邀者然后拒绝他们，再交往其后比前面的应邀者有更高分数的第一个应邀者。如果结果是最好的应邀者在前k个面谈的之中，那么我们将交往第n个应邀者。这个策略形式化地表示在如下所示的过程ONLINEMAXIMUM(k,n)中，该过程返回的是我们希望交往的应邀者的下标值。

/**
* 
* @param k 前k个被拒绝的应邀者
* @param n 总共n个应邀者
* @return
*/
int ONLINEMAXIMUM(int k, int n){
	int[] score = new int[n];
1	int bestscore = -999999;
2	for(int i = 1; i < k; i++){
3		if(score[i] > bestscore){
4			bestscore = score[i];
		}
	}
5	for (int i = k+1; i < n; i++) {
6		if(score[i] > bestscore){
7			return i;
		}
	}
8	return n;
}

对每一个可能的k值，我们希望确定交往到最好的应邀者的概率。然后选择最佳的k值，并用此值来实现这个策略。先假设k是固定的。令M(j)=max_a<=i<=b{score(i)}表示应邀者a到b中的最高分数。令S表示我们成功选择最好的应邀者的事件，S_i表示当最好的应邀者是第i个面谈者时成功的事件。由于不同的S_i不相交，有。注意到当最好的应邀者是前k个应邀者中的一个时，我们不会成功，有

Pr{S_i}=0,i=1,2,...,k。于是得到

   （公式2）

现在我们来计算Pr{S_i}。为了当第i个应邀者是最好的时成功，有两件事情必须发生。首先，最好的应邀者必须在位置i上，用事件B_i表示。其次，算法不能选择在位置k+1到i-1中的任何一个应邀者，而这个选择仅发生在当j满足k+1<=j<=i-1时，程序第6行有score[j]<bestscore。（因为分数是唯一的，可以忽略score[j]=bestscore的可能性。）换言之，所有score[k+1]到score[i-1]的值都必须小于M(k)；如果其中有大于M(k)的数，将返回第一个大于M(k)的数的下标。用O_i表示在位置k+1到i-1中没有任何应邀者被选取的事件。幸运的是，事件B_i和O_i是独立的。事件O_i只依赖于位置1到i-1中数值的相对次序，而B_i只依赖于位置i的数值是否大于所有其他位置的数值。位置1到i-1中各数值的相对次序如何，并不应影响位置i的值是否大于位置1到i-1中的所有数值，而且位置i的值也不会影响位置1到i-1中值的次序。因此，应用公式1得

Pr{S_i}=Pr{B_i∩O_i}=Pr{B_i}Pr{O_i}

Pr{B_i}的概率显然是1/n，因为最大值等可能地是n个位置中的任何一个。如果事件O_i要发生，在位置1到i-1中的最大值必须在前k个位置的一个，而且最大值等可能地是i-1个位置中的任何一个。因此，Pr{O_i}=k/(i-1)，Pr{S_i}=k/(n(i-1))。利用公式2有

我们利用积分来近似约束这个和数的上界和下界。根据不等式公式3，有

解这些定积分可以得到下面的界：

这提供了Pr{S}的一个相当紧确的界。由于我们希望最大化成功的概率，因而主要关注如何选取k的值，使其能够最大化Pr{S}的下界。（除此之外，下界表达式比上界表达式容易最大化。）将表达式(k/n)(lnn-lnk)对k求导，得

令此导数等于0（注：因为原函数的二阶导数为-1/nk小于0，所以原函数是凸函数，极值为最大值），我们看到当lnk=lnn-1=ln(n/e)，或等价地，当k=n/e时，概率的下界最大化。因此，如果用k=n/e来实现我们的策略，则可以以至少为1/e的概率，成功地交往到最有资格的应邀者。

 

公式1：Pr{A∩B}=Pr{A}Pr{B}

公式3：当f(k)单调递减时，可以使用积分来计算界