递归

• 递归模式：

                     多递归基：为保证有穷性，递归算法都必须设置递归基，且确保总能执行到。为此，针对每一类可能出现的平凡情况，都需设置对应的递归基，故同一算法的递归基可能（显式或隐式的不止一种）；

                    例如：数组倒置问题:

 

void reverse (int *,int,int);
void reverse (int * A, int n){
     reverse(A,0,n-1);
}
void reverse (int *  A, int l, int r){
     if  ( l < r ) {//递归基可能是l=r或者l>r
          swap(A[l],A[r]);
          reverse(A, l+1, r-1);
     }
}

                    多向递归：递归调用可能有多种可供选择的分支

                    例如：计算幂函数 。按照线性递归的构思，该函数可重新定义如下：

                                                           

                    若从其他角度分析，可给出：

                                                              

                                                            

                    一般的，若n的二进制展开式为： ，则： ，

若 和 的二进制展开式分别为： 和 ，则有：

                                                                 ，

由此，可归纳得如下递推式：

                                                            ，

基于这一递归式，有如下多项递归版本：

 

inline __int64 sqr( __int64 a ) {
    return a   *  a ;
}
 
__int64 power2_re ( __int64 n ) {
    if ( n == 0)
    {
        return 1;
    }
    return ( n & 1) ? sqr ( power2_re( n >> 1)) * 2 : sqr ( power2_re( n >> 1));
}

上述递归算法的时间复杂度为： ，因为每次递归调用入参均缩小一半