leetcode300.最长上升子序列

给定一个无序的整数数组，找到其中最长上升子序列的长度。

示例:

输入: [10,9,2,5,3,7,101,18]
输出: 4
解释: 最长的上升子序列是 [2,3,7,101]，它的长度是 4。

说明:

可能会有多种最长上升子序列的组合，你只需要输出对应的长度即可。
你算法的时间复杂度应该为 O(n2) 。

进阶:

你能将算法的时间复杂度降低到 O(n log n) 吗?

思路：维护一个tail数组，tail[k]表示长度为k+1的最长上升子序列的尾部元素例如：原数组为[10,9,2,5,3,7,21,18]

tail每轮更新情况：
i=0时：tails:[10]
i=1时：tails:[9]
i=2时：tails:[2]
i=3时：tails:[2,5]
i=4时：tails:[2,3]
i=5时：tails:[2,3,7]
i=6时：tails:[2,3,7,21]
i=7时：tails:[2,3,7,18]
每次都保持尾部元素最小。
如果再加一个5元素，则通过二分法找到第一个大于5的元素7，将7替换成5。
如果再加一个9元素，则通过二分法找到第一个大于9的元素18，将18替换成9。如此下去。
因为题目要求将算法复杂度降到nlogn,而遍历数组中的数字是免不了的，只能优化tail的更新过程，我们可以看到tails中的元素必然是有序的，所以显然我们可以通过二分查找快速定位到需要替换的元素位置。代码如下：

int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {
    vector<int> tails(nums.size());
    int res = 0;
    for(int num : nums) {
        int i = 0, j = res;
        //while循环退出条件：i == j
        while(i < j) {
            int mid = (i + j) / 2;
            if(num > tails[mid]) i = mid + 1;
            else j = mid; //此处不能是mid-1
        }

        tails[i] = num;
        //res == j表示j一直没有前移，一直指向最末尾，表示tail中所有数字都小于num，直接加到tails末尾
        if(res == j) res++;
    }
    return res;
}