理论物理极础2. 运动

莱尼抱怨：“乔治，跳跃频闪的东西令我不爽。时间是蹦蹦跳跳而溜去的吗？我希望事情平滑而行。”乔治思考片刻，擦掉黑板，“好的，莱尼，今天我们就学习平滑变化的系统。”

插播数学：微分

在本书中，我们主要处理的问题是，看物理量如何随时间变化。经典力学主要研究事物如何平滑变化，用数学中的术语就是连续变化。状态将依据动力学定律随时间演化连续更新，不同于上一节中的频闪变化。因此，我们有兴趣学学独立变量(t)的函数。

数学上处理连续变化需要用微分。微分与极限密切相关，我们先讨论下极限。我们考虑一个数列(l_1), (l_2), (l_3), (ldots), 它们越来越靠近某个值(L)，(L)即成为数列的极限。比如数列：0.9, 0.99, 0.999, 0.9999, . . . ，这个数列的极限为1。数列里没有数字1，但是它们越来越靠近1。我们用如下符号表示这个事情：

[lim_{i ightarrow infty }l_i=L ]

这个式子表示的意思是当(i)趋于无穷的时候，(L)为(l_i)的极限。

这个思想也可用于函数。我们考虑函数(f(t))，我们想知道当(t)越来越靠近某个值（比如(a)）时函数值如何变化。如果当(t)趋近于(a)时，(f(t))可任意接近某个值(L)，我们称(t)趋近于(a)时，(f(t))的极限为(L)，记作

[lim_{_{t ightarrow a} }f(t)=L ]

(f(t))是变量(t)的函数，(t)变化，则(f(t))也变化，微分就是讨论函数的变化率。想法是这样的，知道某瞬时的函数值为(f(t))，然后让时间变化一点点，看看函数值变化多少。变化率为函数值(f)的变化量与自变量(t)变化量的比值。变化量用大写希腊字母(Delta)表示，时间(t)的变化量即为(Delta t)（注意这不是(Delta imes t)）。在时间间隔(Delta t)内，函数值从(f(t))变化到(f(t+Delta t))，函数的变化量为

[Delta f=f(t+Delta t)-f(t) ]

要精确定义时刻(t)时函数的变化量，必须让(Delta t)趋于0，而此时，(Delta f)也趋于0，但二者的比值一般不为0，有个极限值，这个极限就是(f(t))对(t)的导数，

egin{equation}frac{df}{dt}=lim_{Delta t ightarrow 0}frac{Delta f}{Delta t} = lim_{Delta t ightarrow 0}frac{f(t+Delta t)-f(t)}{Delta t}label{eq:derive}end{equation}

现在让我们练习下求导计算。比如计算函数(f(t)=t^2)的导数。根据方程 ef{eq:derive}计算导数。先计算

[f(t+Delta t)=(t+Delta t)^2=t^2+2tDelta t+Delta t^2 ]

减去(f(t))，

[f(t+Delta t)-f(t)=(t+Delta t)^2-t^2=2tDelta t+Delta t^2 ]

两边除去(Delta t)，

[frac{f(t+Delta t)-f(t)}{Delta t}=frac{2tDelta t+Delta t^2}{Delta t}=2t+Delta t ]

当(Delta t)趋于0时，上式第一项不受影响，第二项将消失。记住一点：当计算导数时，(Delta t)的高阶项将为0。因此，

[lim_{Delta t ightarrow 0}frac{2tDelta t+Delta t^2}{Delta t}=2t ]

即(t^2)的导数为

[frac{d(t^2)}{dt}=2t ]

下面我们考虑一般的幂函数，(f(t)=t^n)。先计算(f(t+Delta t)=(t+Delta t)^n)，它可由二项式定理进行计算，

[f(t+Delta t)=(t+Delta t)^n=t^n+nt^{n-1}Delta t + frac{n(n-1)}{2}t^{n-2}Delta t^2 ]

[qquad qquad quad quad qquad qquad qquad qquad +frac{n(n-1)(n-2)}{3}t^{n-3}Delta t^3+dots+Delta t^n ]

减去(f(t))，得

[Delta f=f(t+Delta t)-f(t)=t^n+nt^{n-1}Delta t + frac{n(n-1)}{2}t^{n-2}Delta t^2 ]

[quad quad quad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad +frac{n(n-1)(n-2)}{3}t^{n-3}Delta t^3+dots+Delta t^n -t^n ]

[quad quad quad quad qquad qquad qquad =nt^{n-1}Delta t + frac{n(n-1)}{2}t^{n-2}Delta t^2 ]

[qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad +frac{n(n-1)(n-2)}{3}t^{n-3}Delta t^3+dots+Delta t^n ]

除以(Delta t)

[frac{Delta f}{Delta t}=nt^{n-1} + frac{n(n-1)}{2}t^{n-2}Delta t$$ $$quad quad quad quad qquad qquad qquad +frac{n(n-1)(n-2)}{3}t^{n-3}Delta t^2+dots+Delta t^{n-1} ]

令(Delta t ightarrow 0)，得导数为

[frac{dt^n}{dt}=nt^{n-1} ]

即便(n)不是整数，上式依然成立，(n)可为任意实数或复数。

这里说几个特例。(n)=0(，此时)f(t)=1(，导数为0——任何常函数的导数也都为0。)n(=0)，此时(f(t)=t)，导数为1——变量 自己对自己的导数为1。

下面列举几个常见的导数。

[frac{d(sin t)}{dt}=cos t$$ $$frac{d(cos t)}{dt}=-sin t$$ egin{equation}frac{d(e^t)}{dt}=e^tlabel{eq:et}end{equation} $$frac{d(ln t)}{dt}=frac{1}{t} ]

方程 ef{eq:et}值得说一说。如果(t)是整数，(e^t)的含义很明显，比如(e^3=e imes e imes e)。方程 ef{eq:et}就是(e^t)的定义，导数就是自身。

关于导数还有几条有用的规则。你可以作为联系证明一下。第一条规则，常数的导数为0。这容易理解，导数是变化率，而常数没有变化，因此有

[frac{dc}{dt}=0 ]

常数与函数(f(t))乘积也是函数，它的导数等于常数乘以函数(f(t))的导数，

[frac{d(cf)}{dt}=cfrac{df}{dt} ]

函数代数和的导数等于各个函数导数的代数和，比如两个函数(f(t))和和(g(t))，有如下关系：

[frac{d(f+g)}{dt}=frac{d(f)}{dt}+frac{d(g)}{dt} ]

函数的积的导数满足如下关系：

[frac{d(fg)}{dt}=g(t)frac{d(f)}{dt}+f(t)frac{d(g)}{dt} ]

(f(g))是(g)的函数，(g(t))是(t)的函数，那么(f)最终是(t)的函数，这种函数称为隐函数。你要是想知道某个(t)对应的(f)值，你需要先计算(g(t))，然后计算(f(g))。函数(f)对时间(t)的导数满足如下关系：

[frac{d(f)}{dt}=frac{d(f)}{dg}frac{d(g)}{dt} ]

这称为链式规则。链式规则可以让你想出一个中间函数，方便地计算一个复杂的函数的导数。比如计算如下函数的导数，

[f(t)=ln t^3 ]

设计一个中间函数(g(t)=t^3)，于是有(f(g)=ln g)，然后应用链式规则

[frac{df}{dt}=frac{df}{dg}frac{dg}{dt} ]

应用求导公式，(frac{df}{dg}=frac{1}{g})，(frac{dg}{dt}=3t^2)，带入上式，

[frac{df}{dt}=frac{3t^2}{g} ]

带入(g(t)=t^3)，得

[frac{df}{dt}=frac{3}{t} ]

应用以上规则你可以方便地计算导数。以上基本上就是求导的所有规则。

练习1：计算以下函数的导数：$$f(t) = t^4 + 3 t^3 - 12 t^2 + t - 6$$$$g(x)=sin x - cos x$$$$ heta(alpha)=e^{alpha} + alphaln alpha$$ $$x(t)=sin^2t-cos t$$

（注：第4个函数原文误为(x(t)=sin^2x-cos x)）

练习2：导数的导数称为二阶导数，写为(frac{d^2f(t)}{dt^2})。计算练习1中各函数的二阶导数。

练习3：应用链式规则，计算以下函数的导数：$$g(t) = sin(t^2) - cos(t^2)$$ $$ heta(alpha)=e^{3alpha} +3alphaln (3alpha)$$ $$x(t)=sin^2(t2)-cos(t^2)$$

练习4：证明函数和与积的求导法则和链式规则。

练习5：证明方程 ef{eq:et}。

质点运动

质点就是把一个东西看成一个几何上的点，这显然是个理想化的概念，任何东西都不会如一个点那么小，即便是电子也不会那么小。但是，在很多情况下，我们可以忽略物体的形状，当做一个点来处理。比如地球显然不是一个点，但计算地球绕太阳公转时的轨道的时候，我们忽略地球的大小，也可以得到精度很高的结果。

质点的位置可由三个空间坐标给出，质点的运动通过每个时刻质点的位置来定义。数学上，给出三个空间坐标随时间(t)变化的函数:(x(t))，(y(t))，(z(t))，即指明了一个位置。

质点在(t)时刻的位置还可以用矢量(vec{r}(t))表示，有三个分量(x(t))，(y(t))，(z(t))。质点走过的路径（称为轨迹）用(vec{r}(t))表示。经典力学要干的工作就是根据初始条件和动力学定律确定出(vec{r}(t))。

除了位置，质点另外一个最重要的信息是速度。速度也是矢量。定义矢量需要一点微积分知识。

考虑一个质点在(t)时刻及随后晚一点点时刻(t+Delta t)的位移。在这个很小的时间间隔(Delta t)内，质点从(x(t))，(y(t))，(z(t))处运动至(x(t+Delta t))，(y(t+Delta t))，(z(t+Delta t))，或者用矢量表示，从(vec{r}(t))运动至(vec{r}(t+Delta t))处。位移可定义为：

[Delta x = x(t+Delta t) - x(t)$$ $$Delta y = y(t+Delta t) - y(t)$$ $$Delta z = z(t+Delta t) - z(t) ]

或

[Delta vec{r} = vec{r}(t+Delta t) - vec{r}(t) ]

位移即是在质点在很短的时间(Delta t)内走过的位移。速度为位移除以时间(Delta t)，并取极限(Delta t)趋于零。如(x)方向的速度为

[v_x = lim_{Delta t ightarrow 0}frac{Delta x}{Delta t} ]

这实际上就是(x)对时间求导。

[v_x = frac{dx}{dt}=dot{x}$$ $$v_y = frac{dy}{dt}=dot{y}$$ $$v_z = frac{dz}{dt}=dot{z} ]

变量上一点表示对时间求导。这可以用于任何量对时间求导。比如(T)表示一壶水的温度，(dot{T})表示温度的时间变化率。这种表示方法我们还会多次遇到。

一直要写(x)，(y)，(z)，显得很繁琐，我们可约化成一个符号。坐标的三个分量可记为(x_i)，速度的分量可记为(v_i)：

[v_i=frac{dx_i}{dt}=dot{x}_i ]

其中， (i)取的值为(x)，(y)，(z)。速度也可用矢量表示：

[vec{v}=frac{dvec{r}}{dt}=dot{vec{r}} ]

速度的大小为(|vec{v}|)，

[|vec{v}|^2=v_x^2+v_y^2+v_z^2 ]

速度的大小表示质点运动的快慢，也称为速率。

加速度表示速度如何变化。质点的速度如果是个常矢量，即质点的速度不发生变化，则质点没有加速度。速度是常矢量不仅仅表示速度的大小不发生变化，还表示速度的方向不发生变化。速度的大小和方向只要有其一发生变化，即速度发生变化，即有加速度。加速度是速度对时间的导数：

[a_i=frac{dv_i}{dt}=dot{v_i} ]

用矢量表示：

[vec{a}=frac{dvec{v}}{dt}=dot{vec{v}} ]

(v_i)是(x_i)对时间的一阶导数，(a_i)是(v_i)对时间的一阶导数，因此，(a_i)是(x_i)对时间的二阶导数，

[a_i=frac{d^2x_i}{dt^2}=ddot{v}_i ]

变量上面的两个点表示对时间的二阶导数。

举例

考虑一个质点，自(t=0)时开始运动，运动方程如下：

[x(t)=0$$ $$y(t)=0$$ $$z(t)=z(0)+v(0)t-frac{1}{2}gt^2 ]

很明显，质点在(x)和(y)方向上没有运动，只沿着(z)轴运动，常数(z(0))和(v(0))表示(z)方向上质点的初始位置和初始速度。(g)也是一个常数。

对时间求导，可得质点的速度，

[v_x(t)=0$$ $$v_y(t)=0$$ $$v_z(t)=v(0)-gt ]

速度的(x)和(y)分量总是零，速度的(z)分量在(t=0)时刻的值为(v(0))。

随着时间的流逝，(-gt)这一项就不再是零了，最终会超过(v(0))，质点沿(z)轴负方向运动。

再对时间求一次导，可得质点加速度，

[a_x(t)=0$$ $$a_y(t)=0$$ $$a_z(t)=-g ]

加速度沿(z)轴方向，是个负的常数。如果(z)轴竖直向上，质点向下加速，就像下落的物体那样。

下面我们考虑一个振荡的质点，质点在(x)方向往复运动。由于沿(y)和(z)方向没有运动，我们将其忽略。三角函数就可表示一个简单的振荡运动，

[x(t)=sin omega t ]

其中，希腊字母(omega)为常数，它的数值越大，表示振荡的越快，这种运动叫简谐振动，如图1所示。

下面计算速度和加速度。(x(t))对时间的一阶导数即为速度，

[v_x=frac{dx(t)}{dt}=frac{d}{dt}sin omega t = omega cos omega t ]

加速度是(x(t))对时间的二阶导数，也即(v_x(t))对时间的一阶导数，

[a_x=frac{d^2x}{dt^2}=frac{dv_x(t)}{dt}=-omega^2sin omega t ]

有一些有趣的事情值得注意。当质点处于最极大或最极小值时，质点速度为零。fangu反过来，当质点处于(x=0)处时，质点速度达到极大或极小。这种情况我们称质点位置与速度反相，相位差90°。见图2和图3。

（注意：以上为原文中的两图，图中的( heta)应为(omega t)）

质点位置与加速度也有联系，二者都正比于(sin omega t)，但是符号相反，当质点位置是正(负)的时候，质点的加速度为负(正)。即不管质点在哪里，质点都往原点加速，位置和加速度反相，相位差为180°。

练习6：质点完成一个运动周期需要多长时间？

下一个例子，质点绕原点做匀速圆周运动，即以恒定速率沿圆周运动。我们可以不考虑(z)轴，只考虑(x), (y)平面上的运动。要描述这一运动，需要两个函数(x(t))和(y(t))。我们考虑质点沿逆时针方向运动，轨迹的半径为(R)。

把运动投影到(x)和(y)轴上，可以使运动更直观。质点绕着原点转圈，它的(x)坐标从(-R)到(R)之间来回变换，(y)坐标也是一样，但是(x)和(y)坐标有90°的相位差，当(x)坐标达到最大值，(y)坐标为0，反之亦然。

对于逆时针的匀速圆周运动，运动方程如下：

[x(t)=Rcos omega t$$ $$y(t)=Rsin omega t ]

其中，(omega)为圆频率，表示单位时间内质点转过的角的弧度。质点转一圈用的时间为运动周期：

[T=frac{2pi}{omega} ]

由运动方程就可以计算速度分量和加速度分量：

[v_x=-Rsin omega t$$ $$v_y=Rcos omega t$$ $$a_x=-R^2cos omega t$$ $$a_y=-R^2sin omega t ]

可以看出圆周运动一个有趣的性质：加速度与位置矢量平行反向，即加速度的方向指向原点。牛顿曾用这个性质分析过月亮的运动。

练习7：证明位置矢量和速度矢量正交

练习8：给出以下位置矢量，计算对应的速度矢量和加速度矢量，并用画图软件作出各位置矢量及其对应的s速度矢量和加速度矢量的图。$$vec{r}=(cos omega t, e^{omega t})$$ $$vec{r}=left (cos (omega t-phi), sin (omega t-phi) ight)$$ $$vec{r}=(ccos^3t,csin3t)$$