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  • 理论物理极础5:能量

    “老先生,你在火车头下找什么?”
    莱尼超爱大个头蒸汽机车,经常和乔治去火车场看火车。
    今天,他们发现一位老先生好像在找什么东西。
    老先生问乔治:“拉火车的马在哪里?”
    “火车跑不需要马,我来告诉你火车怎么跑的,你看这里,”乔治说着,指着火车头上一个地方,“那里是火箱,煤炭在其中燃烧,放出化学能,紧挨着火箱是锅炉,热将锅炉里的水加热,产生蒸汽。蒸汽压推动火箱里的活塞,即对活塞做功。活塞又推动这些杆,这些杆带动火车轮子转起来。”老先生与乔治握了握手,带着理解的微笑离开了。
    莱尼一直站在边上听乔治讲解火车。莱尼带着崇拜,对乔治说:“乔治,你讲得真好,我都懂了,火箱,锅炉,活塞。只是有一个点我还没懂。”
    “莱尼,还有什么不懂?”
    “马在哪里?”

    力和势能

    大家都学过,能量有多种形式,如动能、势能、热能、化学能、核能、……,并且知道,能量的总量是守恒的。但是经典物理研究质点运动时候只有两种能量形式:动能和势能。导出能量守恒的最佳方法是直接跳到正式的数学公式,再后退一步,看看我们会得到什么。

    最基础的原理我们可称之为势能原理,所有的力都可由势能函数(V(\{x\}))导出,如前面的章节一样,(\{x\})代表体系(N)个质点的(3N)个坐标的集合,即构型空间。为了更清晰地展示势能原理,我们这里考虑最简单的情形,沿(x)轴运动的单个质点,所受外力为(F(x))。根据势能原理,质点所受的力与势能(V(x))的导数有关:
    egin{equation}
    F(x)=-frac{dV(x)}{dx}
    label{eq:1}
    end{equation}
    在一维情形下,势能原理其实就是势能的定义。对方程( ef{eq:1})两边积分,就可得到势能:
    egin{equation}
    V(x)=-int F(x)dx
    label{eq:2}
    end{equation}

    我们可以这样理解方程( ef{eq:1}):力总是试图将质点推往势能更低的地方(注意方程中的负号)。另外,(V({x}))越陡,力越大。总结为一句广告语:力推你下山(Force pushes you down the hill)。

    势能本身是不守恒的。随着质点的运动,(V({x}))要发生变化。守恒的量是势能与动能的总和。粗略地讲,随着质点滚下山(即质点向势能低处运动),质点速度越来越大。如果质点向山上滚,质点速度愈来愈小。有某种东西是守恒的。

    动能(T)用速度(v)和质量(m)来定义,具体定义为:

    [T =frac{1}{2}mv^2 ]

    质点的总能量(E)为动能与势能的和:

    [E =frac{1}{2}mv^2 + V(x) ]

    随着质点沿(x)轴运动,两种形式的能量都发生变化,但是变化的方式是保持二者之和不变。下面我们来证明这一点。如果总能量(E)对时间的导数为零,则就证明总能量不随时间变化。

    我们先计算动能的时间变化率。动能里,质量不变,速度的平方(v^2)会变化,(v^2)对时间的导数为:
    egin{equation}frac{dv^2}{dt}=2vfrac{dv}{dt}=2vdot{v}
    label{eq:3}
    end{equation}

    练习1 证明方程( ef{eq:3})

    于是,动能对时间的导数为

    [dot{T}=mvdot{v}=mva ]

    在上式中,速度对时间的导数代换为加速度。

    下一步,我们计算势能的时间变化率。这里要注意到的关键点是,势能(V(x))会随时间变化是因为(x)会随时间变化。势能对时间求导,得:

    [frac{dV}{dt}=frac{dV}{dx}frac{dx}{dt} ]

    (frac{dx}{dt})代换为速度(v),有:

    [frac{dV}{dt}=frac{dV}{dx}v ]

    (注意不要把(V)(v)弄混。)

    现在就可以计算总能量的时间变化率了:

    [dot{E}=dot{T}+dot{V}=mva+frac{dV}{dx}v ]

    两项都有(v),提取公因式,有:

    [dot{E}=vleft (mva+frac{dV}{dx} ight ) ]

    注意看括号里边,势能与力有关系。由方程( ef{eq:1}),有:

    [dot{E}=vleft (mva-F(x) ight ) ]

    由牛顿第二定律,(F=ma),上式小括号中的项正好抵消,则(dot{E}=0),我们也就证明了能量守恒。

    我们讨论多维情况之前,我们还需要讨论一点,动量为什么不守恒?在前面的章节里,我们证明过,对于孤立系统,牛顿第三定律意味着动量守恒。答案是,我们漏掉了系统里的一些事情,即对做一维运动的质点施加力的物体。比如,如果要研究的问题是引力场中下落的质点,引力是地球施加的。当质点下降时,它的动量是变化的,但是这一变化为地球运动微小变化所弥补。即把下落的物体和地球看成一个系统,动量还是守恒的。

    高维运动

    力的分量是势能的导数,但这不是力的定义。不从势能的导数来想象力学定律可能更自然些,但是自然并不运用这样的非保守力

    让我们思考问题比以前更抽象一点。构型空间(也即位置空间)的坐标称为(x_i)。这里的下标(i)不是标记质点的,也不是标记空间方向的,而是涵盖这一切。对于(N)个质点组成的系统,(i)(3N)个值。我们先不管这怎么来的,只考虑(i)标记的一个抽象坐标系。

    现在写下运动方程:

    egin{equation} m\_iddot{x}\_i=F\_i({x}) label{eq:4} end{equation}

    每个坐标都对应一个质量$m_i$和一个力的分量$F_i$。力的每个分量都依赖于所有位置$\{x\}$。

    在上一节的一维情况,力是势能的负导数,见方程( ef{eq:1})。这是势能的定义,但不是力要满足的特殊条件。对于高维情况,事情更复杂。一般情况下,不是所有的力(F_i(\{x\}))都是某个函数的(V(\{x\}))的导数。如果我们认为力的分量都可以描述为一个势能函数的(偏)导数,这会是一个全新的原理。

    这个原理还真不是随便猜想的。这是物理学里最重要的原理之一的数学表达式:
    对于任何系统,存在一个函数(V(\{x\}))与力满足如下关系
    egin{equation}
    F_i({x})=-frac{partial V({x})}{partial x_i}
    label{eq:5}
    end{equation}

    方程( ef{eq:5})表示什么自然定律?你可能已经猜到,能量守恒。我们稍候予以说明,现在我们说明一下方程( ef{eq:5})表达的的物理图像。

    想象一下,函数(V(\{x\}))表示地形图,表示各点的高度。首先,方程( ef{eq:5})中的负号表示力指向山下的方向,并且表示,越陡的地方力越大。比如,在等高线图上,沿着等高线没有力。力矢量与等高线垂直。

    现在,我们开始导出能量守恒。把方程( ef{eq:5})带入运动方程方程( ef{eq:4}),有:

    egin{equation} m\_iddot{x}\_i=-frac{partial V(\{x\})}{partial x_i} label{eq:6} end{equation}

    方程( ef{eq:6})两边都乘以相应的速度$dot{x}\_i$,并对所有分量求和:

    egin{equation} sum\_i m\_idot{x}\_iddot{x}\_i=-sum\_i dot{x}\_ifrac{partial V(\{x\})}{partial x_i} label{eq:7} end{equation}

    我们下一步的处理技巧与一维情况是一样的。总的动能为各坐标对应的动能之和:

    [T=frac{1}{2}sum_i m_idot{x} ]

    现在我们看看方程( ef{eq:7})的两边分别是什么。先看左边:

    [sum_i m_idot{x}\_iddot{x}\_i=frac{dT}{dt} ]

    再看右边:

    [-sum_i dot{x}\_ifrac{partial V(\{x\})}{partial x_i}=-frac{dV}{dt} ]

    因此方程( ef{eq:7})可写为:
    egin{equation}frac{dT}{dt}+frac{dV}{dt}=0
    label{eq:8}
    end{equation}
    与一维情况一模一样,方程( ef{eq:8})表达的意思是,总能量对时间的导数为0,即能量守恒。

    为了形象化地理解方程( ef{eq:8})的含义,我们想象一个球在一片山地无摩擦滚动。球向低处滚动时,速度增大,球向高处滚动时,速度减小。方程( ef{eq:8})告诉我们,球滚动过程中,动能和势能的总和保持不变。

    你可能纳闷,自然界的力为什么总是单个函数的梯度(导数)?下一章,我们将从最小作用量原理,重新把经典力学总结为新的理论体系,这一新的理论体系的起点就是存在这样的势能函数。你又会问,为什么有个最低作用量原理?答案可追溯到量子力学和量子场论里力的起源,这些内容我们还谈不到。为什么用到量子场论?我们必须在某处放弃回答这样的问题,就接受好了。当然,我们也可以一直追寻下去。

    练习2:考虑做二维运动的质点,两个坐标分别为(x)(y),质点的质量为(m),势能函数为(V=frac{1}{2}k(x^2+y^2))。请写出运动方程。证明存在圆形轨道,并且各圆形轨道的周期都相同。证明能量守恒。
    练习3:重新考虑练习2,但势能函数为(V=frac{k}{2(x^2+y^2)}),问还是否可能有圆形轨道?如果存在,这些圆形轨道的周期相同吗?总能量守恒吗?

    在讨论最小作用量原理之前,我想列举一些物理中经常讨论的能量,并评述一下它们如何适用于能量守恒的物理图像。常见的能量有:

    • 机械能
    • 热能
    • 化学能
    • 原子能或核能
    • 静电能
    • 磁能
    • 辐射能

    一些能量形式(不是全部)之间的区别有点过时了。机械能常常指宏观物体的动能和势能,如行星和塔吊吊起的重物。机械能也常指引力势能。

    热能藏身于气体或分子集合体里,也包括动能和势能,与机械能的差别是,热能涉及很多很多质点混沌运动,我们甚至无法细致刻画这些运动。化学能也很特别,储存于化学键中,是构成分子的的粒子的动能和势能之和。化学能更难以理解,因为需要用到量子力学,归根结底,化学能也是粒子的动能和势能。原子能或核能,可与化学能类似理解。

    静电能是一种势能,与带电粒子之间的排斥力和吸引力有关。事实上,除了引力势能,静电能是日常经典世界最主要的势能。静电能是原子与分子里带电粒子之间的势能。

    磁能有点复杂,是磁极之间作用力对应的势能。复杂之处在于磁体和带电粒子之间的作用力。带电粒子所受到的磁力与速度有关。我们后面还会讨论这个问题。

    电磁辐射里也蕴藏着能量,这种能量形式多样,如太阳发的热、无线电波里的能量、激光,等。广义来讲,辐射能也是动能和势能之和,但不是质点或粒子的能量,而是场的能量。本书不讨论电磁能。

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