证明ln2=0 和 2=1

我们知道下式成立：

egin{equation} ln(1+x)=x-frac{x^2}{2}+frac{x^3}{3}-frac{x^4}{4}+ldots label{eq1} end{equation}

所以有：

egin{equation} ln 2=1-frac{1}{2}+frac{1}{3}-frac{1}{4}+ldots label{eq2} end{equation}

现在我们来证明 (ln2=0)。

egin{equation*} egin{split} ln 2 =& 1-frac{1}{2}+frac{1}{3}-frac{1}{4}+frac{1}{5}-frac{1}{6}+ldots \\ =&left (1+frac{1}{3}+frac{1}{5}+ldots ight )-left (frac{1}{2}+frac{1}{4}+frac{1}{6}+ldots ight ) \\ =&left (1+frac{1}{3}+frac{1}{5}+ldots ight )+left (frac{1}{2}+frac{1}{4}+frac{1}{6}+ldots ight )- \\ &2left (frac{1}{2}+frac{1}{4}+frac{1}{6}+ldots ight ) \\ =&left (1+frac{1}{2}+frac{1}{3}+frac{1}{4}+frac{1}{5}+ldots ight )-left (1+frac{1}{2}+frac{1}{3}+frac{1}{4}+frac{1}{5}+ldots ight ) \\ =&0 end{split} end{equation*}

得证。

现在我们来证明 (2=1)。

已知：

egin{equation*} ln 2 = 1-frac{1}{2}+frac{1}{3}-frac{1}{4}+frac{1}{5}-frac{1}{6}+frac{1}{7}-frac{1}{8}+frac{1}{9}-frac{1}{10}+ldots end{equation*}

两边乘以 (2)，有：

egin{equation*} egin{split} 2 ln 2 =& 2-1+frac{2}{3}-frac{1}{2}+frac{2}{5}-frac{1}{3}+frac{2}{7}-frac{1}{4}+frac{2}{9}-frac{1}{5}+ldots \\ =&1-frac{1}{2}+frac{1}{3}-frac{1}{4}+frac{1}{5}+ldots \\ =&ln 2 end{split} end{equation*}

所以有：

egin{equation*} 2 = 1 end{equation*}

以上这两个荒谬的结论的证明，哪里出了问题？

问题在于 (ln(1+x)) 展开成的级数方程eqref{eq1}不是绝对收敛的，而是条件收敛的，条件收敛的级数是不可以任意调整级数各项的位置的。