电磁学讲义7：电势及其梯度

保守力与势能

一个带有电量(q)质量为(m)的带电物体，置于任意的电场(vec{E}(vec{r}))中，会如何运动？按照牛顿第二定律运动：

egin{equation*} mfrac{mathrm d^2vec{r}}{mathrm dt^2}=qvec{E}(vec{r}) end{equation*}

这个问题有更方便的方法——能量守恒。

考虑如下问题，一个物体沿无摩擦曲面下落，对于这一过程，动能 (T) 和重力势能 (W)总量保持不变，即：

egin{equation} T+W=C label{TUc} end{equation}

方程eqref{TUc}可以从牛顿定律导出。

egin{equation*} frac{mathrm dT}{mathrm dt}=mvfrac{mathrm dv}{mathrm dt}=F_tv=-mgsin heta frac{mathrm ds}{mathrm dt}=-mgfrac{mathrm dh}{mathrm ds}frac{mathrm ds}{mathrm dt} end{equation*}

于是有

egin{equation*} mathrm dT+mgmathrm dh=0 end{equation*}

积分之后，即得方程eqref{TUc}。

下面我们看三维情况。

egin{equation*} frac{mathrm dT}{mathrm dt}=frac{1}{2}mvec{v}cdot frac{mathrm dvec{v}}{mathrm dt}+frac{1}{2}mfrac{mathrm dvec{v}}{mathrm dt}cdotvec{v}=mfrac{mathrm dvec{v}}{mathrm dt}cdotvec{v}=vec{F}cdotvec{v}=vec{F}cdotfrac{mathrm dvec{l}}{mathrm dt} end{equation*}

于是有

egin{equation*} mathrm dT=vec{F}cdotmathrm dvec{l} end{equation*}

两边积分，有

egin{equation*} Delta T=int_{vec{r}_1}^{vec{r}_2}vec{F}cdotmathrm dvec{l} end{equation*}

左边是动能的变化量，右边是外力做的功，右边的积分沿着物体运动路径进行积分。

对于物体从光滑曲线上下滑这个例子，物体所受约束力不做功，只有重力做功，做功为

egin{equation*} int_{vec{r}_1}^{vec{r}_2}vec{F}cdotmathrm dvec{l}=int_{z_1}^{z_2}-mgmathrm dz=mg(z_1-z_2) end{equation*}

这说明重力做功与具体路径无关，只与初末位置有关，这样的力我们称为保守力。除了重力，还有很多力是保守力，比如胡克弹簧施加的力，万有引力等等。也有很多力不是保守力，比如摩擦力、洛伦兹力（二者都是依赖于速度的力）。

下面我们举一个不是保守力的例子

egin{equation*} vec{F}=yhat{i} end{equation*}

路径1为从原点沿(x)轴到((1,0))点，然后沿平行(y)轴方向到((1,1))点。
路径2为从原点沿(y)轴到((0,1))点，然后沿平行(x)轴方向到((1,1))点。

对于保守力，做功与路径无关，只与初末位置有关，物体在某保守力(vec{F})作用下从(vec{r}_1)运动到(vec{r}_2)，保守力做功

egin{equation*} A_{12}=int_{vec{r}_1}^{vec{r}_2}vec{F}cdotmathrm dvec{l}=W(vec{r}_1)-W(vec{r}_2)=-Delta W=Delta T=T_2-T_1 end{equation*}

函数(W(vec{r}))称为保守力的势能。物体运动过程中，动能(T)与势能(W)之和保持不变。

保守力与它对应的势能之间有什么关系？

假设我们已经知道势能的函数形式(W(x,y,z))，现在让物体沿(x)轴做个很小的移动(Delta x)，保守力做功

egin{equation*} F_xDelta x=-Delta W end{equation*}

于是力为

egin{equation}
F_x=-frac{Delta W}{Delta x}
end{equation}

显然这个式子是不严格的，只有在(Delta x ightarrow 0)时才成立，这正是(W)对(x)的微商(-mathrm dW/mathrm dx)，但是要注意，我们只考虑了(x)的变化，(y)和(z)是不变的，所以这里的微商应为偏导。于是，我们得到保守力的(x)分量是势能(U)对(x)的负的偏导，即

egin{equation*} F_x=-frac{partial W}{partial x} end{equation*}

同样，力的其他分量与势能的关系为

egin{equation*} F_y=-frac{partial W}{partial y} end{equation*}

egin{equation*} F_z=-frac{partial W}{partial z} end{equation*}

所以保守力与势能的关系为

egin{equation*} vec{F}=-hat{i}frac{partial W}{partial x}-hat{j}frac{partial W}{partial y}-hat{k}frac{partial W}{partial z}=-left(hat{i}frac{partial }{partial x}-hat{j}frac{partial }{partial y}-hat{k}frac{partial }{partial z} ight)W=- abla W end{equation*}

其中( abla) 为一个运算符号，作用到一个标量函数上，得到函数的梯度。

这样的力做的功真的与路径无关吗？不妨计算一下。

egin{equation*} egin{split} A_{12}=&int_{vec{r}_1}^{vec{r}_2}vec{F}cdotmathrm dvec{l}=int_{vec{r}_1}^{vec{r}_2}left (F_xmathrm dx+F_ymathrm dy +F_zmathrm dz ight )\ =&-int_{vec{r}_1}^{vec{r}_2}left (frac{partial W}{partial x}mathrm dx+frac{partial W}{partial y}mathrm dy +frac{partial W}{partial z}mathrm dz ight )\ =& -int_{vec{r}_1}^{vec{r}_2}mathrm dW =W(vec{r}_1)-W(vec{r}_2) end{split} end{equation*}

确实与路径无关，只与初末位置有关。

练习1 求势能函数(W(x,y,z)=x^3y^2+sin z)对应的保守力。

保守力有什么特点呢？根据偏导的性质，有

egin{equation*} egin{split} &frac{partial F_x}{partial y}=frac{partial F_y}{partial x}\ &frac{partial F_x}{partial z}=frac{partial F_z}{partial x}\ &frac{partial F_y}{partial z}=frac{partial F_z}{partial y} end{split} end{equation*}

如何判断一个力是不是保守力？一个方法是看看这个力是不是某个标量函数的负的梯度，另外一个方法是对这个力的各分量求偏导。当然也可以由保守力定义来判断，将力沿连接初末位置的任意路径积分，看积分结果是不是只依赖于初末位置，或者沿任意闭合路径积分，看积分结果是不是0。

比如重力(vec{F}=-mghat{k})，弹簧 (vec{F}=-kxhat{i})，三种判断方法都很方便，练习1中的力用偏导法或积分法很方便。

静电力是保守力

先讨论一个点电荷(q)产生的电场，另一点电荷(q_0)在此电场中受力为

egin{equation*} vec{F}=frac{1}{4pivarepsilon_0 }frac{qq_0}{r^2}hat{r} end{equation*}

在极坐标系中，容易看出，此力是如下函数的负的梯度

egin{equation*} W(r)=frac{1}{4pivarepsilon_0 }frac{qq_0}{r}+C end{equation*}

在极坐标系中，力的另外两个分量(F_{ heta}=0)，(F_{phi}=0)，所以，用偏导法也容易看出两个点电荷之间的相互作用力为保守力。

积分法。如图，积分路径(L)为连接(P)和(Q)点的任意路径，点电荷(q)对点电荷(q_0)做功为

egin{equation*} egin{split} A_{PQ}=&int_{L(P)}^{L(Q)}vec{F}cdot mathrm dvec{l} =int_{L(P)}^{L(Q)}Fcos heta mathrm dl= int_{r_P}^{r_Q}F(r)dr\ =&frac{qq_0}{4pivarepsilon_0 }left(frac{1}{r_P}-frac{1}{r_Q} ight) end{split} end{equation*}

所以，点电荷电场做功与路径无关。

对于任意带电体系，可以将其分割为许多点电荷，总电场是各个点电荷产生的电场的线性叠加。既然各点电荷的电场做功与路径无关，那么总电场做功也与路径无关，即静电力沿闭合路径做功为0：

egin{equation*} oint_L q_0vec{E}cdotmathrm dvec{l}=0 end{equation*}

也即

egin{equation*} oint_L vec{E}cdotmathrm dvec{l}=0 end{equation*}

所以，静电场的环量恒等于0，这个结论叫做静电场的环路定理。

电势

做功与路径无关的力场称为保守力场，或势场。根据前述讨论，静电场是一种保守力场，静电力一定是势能函数的负的梯度：

egin{equation*} q_0vec{E}=- abla W end{equation*}

即

egin{equation*} vec{E}=-frac{1}{q_0} abla W =- abla U end{equation*}

标量函数(U)称为电势。

点电荷的电势为

egin{equation*} U(r)=frac{1}{4pivarepsilon_0 }frac{q}{r}+C end{equation*}

在静电场中，点电荷(q_0)从空间(P)点运动到(Q)点，静电力做功等于电势能的减少

egin{equation*} W_{PQ} = A_{PQ} = q_0int_P^Qvec{E}cdot mathrm dvec{l} end{equation*}

这个积分无需指明路径，因为结果与具体路径无关。

定义电势差

egin{equation*} U_{PQ}=frac{W_{PQ}}{q_0} = int_P^Qvec{E}cdot mathrm dvec{l} end{equation*}

电势差为移动单位正电荷时电场力所做的功。

电势为0的点需要人为选定，选定之后，(P)点的电势就是电势差(U_{P,ref})

egin{equation*} U(P)=U_{P,ref}=int_P^{ref}vec{E}cdot mathrm dvec{l} end{equation*}

空间两点之间的电势差为：

egin{equation*} egin{split} U_{PQ}=&int_P^{ref}vec{E}cdot mathrm dvec{l}+int_{ref}^Qvec{E}cdot mathrm dvec{l}=int_P^{ref}vec{E}cdot mathrm dvec{l}-int_Q^{ref}vec{E}cdot mathrm dvec{l}\ =&U(P)-U(Q) end{split} end{equation*}

对于电荷分布在有限区域的体系，一般选无限远处为电势为0的点，(P)点的电势为

egin{equation*} U(P)=U_{Pinfty}=int_P^{infty}vec{E}cdot mathrm dvec{l} end{equation*}

在国际单位制中，电势或电势差的单位为(mathrm{J/C})，这个单位有个专门的名称，叫做伏特，简称伏，符号(mathrm V)。

egin{equation*} 1mathrm V=1mathrm{J/C} end{equation*}

根据电势也可以给出一个新的电场强度的单位(mathrm{V/m})，(1mathrm{V/m}=1mathrm{N/C})

电势的计算

对于点电荷，以无限远处为0电势参考点，则距离点电荷(r)处的电势为：

egin{equation*} U(r)=frac{1}{4pivarepsilon_0}frac{q}{r} end{equation*}

对于点电荷系，

egin{equation*} U(r)=frac{1}{4pivarepsilon_0}sum_ifrac{q_i}{r_i} end{equation*}

对于连续带电体，

egin{equation*} U(r)=int mathrm dU=frac{1}{4pivarepsilon_0}intfrac{mathrm dq}{r} end{equation*}

如果已知电荷体系的电场分布，也可根据电势与电场的积分关系求电势：

egin{equation*} U(P)=int_P^{'0'}vec{E}cdot mathrm dvec{l} end{equation*}

如果求得电势分布，也可以根据电势与电场的微分关系求电场分布：

egin{equation*} vec{E}=- abla U end{equation*}

例1 求均匀带电圆环轴线上电势分布。

求均匀带电圆环轴线上电势分布

设圆环带电量为(q)，半径为(R)，圆环轴线上距离圆环中心(x)处电势为

egin{equation*} U(x)=frac{1}{4pivarepsilon_0}intfrac{mathrm dq}{sqrt{R^2+x^2}}=frac{1}{4pivarepsilon_0}frac{q}{sqrt{R^2+x^2}} end{equation*}

例2 求带电圆盘轴线上电势分布。

将圆盘分割成一系列圆环，以这些圆环为元电荷，则轴线上距离圆盘(x)处电势为：

egin{equation*} U(x)=frac{1}{4pivarepsilon_0}int_0^Rfrac{sigma 2pi rmathrm dr}{sqrt{r^2+x^2}}=frac{sigma}{2varepsilon_0}left (sqrt{R^2+x^2}-x ight ) end{equation*}

例3 求均匀带电球壳的电势分布。
设球壳的电量为(Q)，半径为(R)，我们知道距离球壳中心(r)处的电场为

egin{equation*} E(r) = egin{cases} frac{1}{4pivarepsilon\_0}frac{Q}{r^2},& rgt R \ 0, & r lt R end{cases} end{equation*}

球壳外电势

egin{equation*} U(r)=int_r^{infty}vec{E}cdot mathrm dvec{l}=frac{Q}{4pivarepsilon_0}int_0^{infty}frac{mathrm dr}{r^2}=frac{Q}{4pivarepsilon_0r} end{equation*}

球壳内电势

egin{equation*} U(r)=int_r^{infty}vec{E}cdot mathrm dvec{l}=int_r^{R}Emathrm dr+int_R^{infty}Emathrm dr=frac{Q}{4pivarepsilon_0}int_R^{infty}frac{mathrm dr}{r^2}=frac{Q}{4pivarepsilon_0R} end{equation*}

综上，带电球壳的电势分布为

egin{equation*} U(r) = egin{cases} frac{1}{4pivarepsilon_0}frac{Q}{r}, &r gt R \ frac{1}{4pivarepsilon_0 R}, & rlt R end{cases} end{equation*}

即在在球壳外，电势分布与点电荷电势分布相同，在球壳内电势为常量，其值为球壳表面处电势。

均匀带电球壳的电势分布

例3 求电偶极子的电场。
设电偶极子电矩为(p=ql)，场点(P)距离正负电荷和电偶极子中心的距离分别为(r_+)、(r_-)和(r)。如图所示。

电偶极子电势

场点(P)与电偶极子中心的连线与电偶极矩(vec{p})的夹角为( heta)，根据几何关系，有

egin{equation*} egin{split} r_+=&sqrt{r^2-lrcos heta+frac{l^2}{4}}approx rsqrt{1-frac{l}{r}cos heta}approx r-frac{l}{2}cos heta \ r_-=&sqrt{r^2+lrcos heta+frac{l^2}{4}}approx rsqrt{1+frac{l}{r}cos heta}approx r+frac{l}{2}cos heta end{split} end{equation*}

场点(P)处电势(U)为正负电荷的电势(U_+)和(U_-)的代数和，即

egin{equation*} U=frac{q}{4pivarepsilon_0}left(frac{1}{r+}-frac{1}{r_-} ight)approx frac{1}{4pivarepsilon_0}frac{qlcos heta}{r^2}=frac{1}{4pivarepsilon_0}frac{vec{p}cdothat{r}}{r^2} end{equation*}

对电势求梯度，即可得场强分布。

egin{equation*} egin{cases} E_r=-frac{partial U}{partial r} \ E_{ heta}=-frac{1}{r}frac{partial U}{partial heta} \ E_{phi}=-frac{1}{rsin heta}frac{partial U}{partial phi} end{cases} end{equation*}

等势面

把静电场中电势相等的点连起来组成的面称为等势面，比如点电荷的等势面为以点电荷为中心的同心球面。

等势面具有如下性质：
(1) 等势面与电场线处处垂直。

电场与等势面垂直

如图，一试探电荷(q_0)沿等势面做一任意元位移(mathrm dvec{l})，则电场力做功为 (vec{E}cdot mathrm dvec{l} = Emathrm dlcos heta =0)，于是(cos heta =0)，即电场与等势面垂直。

(2) 等势面密集的地方场强大，等势面稀疏的地方场强小。
画等势面的时候规定，任意相邻等势面的差值为一恒量。
相邻等势面差值为(Delta U)，垂直距离(Delta n)，电场强度(E=left |frac{Delta U}{Delta n} ight |)，可见等势面的疏密可以反映场强的大小。

作业

1. 习题 1-26
2. 求均匀带电球体的电势分布。

参考资料

• 《费曼物理学讲义》第13、14章
• 耶鲁大学Shankar 《基础物理II》视频
• 赵凯华《电磁学》