前面我们用积分法计算了电流的磁场，即先算出电流元的磁场，然后把各电流元的磁场加起来，即得整个电流的磁场。计算方法如用积分法计算电荷体系的电场。在静电学部分，我们知道，对于具有一定对称性的带电体系，我们可以通过高斯定理，很方便地算出电场。对于具有一定对称性的电流分布，能否有类似的简便方法？
有，这就是安培环路定理。
对于电场，高斯定理将电场分布和电荷分布联系起来。磁场有没有这样的高斯定理呢？磁场有高斯定理，但是磁场的高斯定理却给不出磁场与电流分布的联系。磁场的环路定理能够给出磁场与电流分布的联系。
高斯定理是关于通量的，环路定理是关于环量的。磁感应强度的环量与电流分布有关。我们从最简单的长直导线电流开始考察。
长直导线电流的安培环路定理
长直导线通以电流(I)，距离导线(r)处磁感应强度为：
egin{equation*} B=frac{mu_0I}{2pi r} end{equation*}
磁感线为以导线为中心的同心圆。(vec{B})沿着以导线为中心以(r)为半径的圆做线积分，积分方向与电流方向满足右手定则，如图1所示。(vec{B})沿此路径的环量为
egin{equation*} oint vec{B}cdot mathrm dvec{l}=oint Bmathrm dl = B oint mathrm dl = mu_0I end{equation*}
图1 (vec{B})沿圆周积分，积分方向与电流方向满足右手定则
如果积分方向与电流方向满足左手定则，如图2所示，则（(vec{B})的环量）积分结果为
egin{equation*} oint vec{B}cdot mathrm dvec{l}=-oint Bmathrm dl = -B oint mathrm dl = -mu_0I end{equation*}
图2 (vec{B})沿圆周积分，积分方向与电流方向满足左手定则
如果积分路径不包围电流，如图3所示，(ab)为半径为(r_1)上的一段圆弧，(cd)为半径为(r_2)上的一段圆弧，在圆弧(ab)上各点处，(B=B_1=frac{mu_0I}{2pi r_1})，在圆弧(cd)上各点处，(B=B_2=frac{mu_0I}{2pi r_2})，在直线(bc)和(da)上各点，磁场方向与直线垂直。
图3 (vec{B})沿不包围电流的闭合路径的线积分
(vec{B}) 沿图3中闭合路径线积分（(vec{B})的环量）
egin{equation*} egin{split} oint vec{B}cdot mathrm dvec{l}=&int_a^b B_1mathrm dl + 0int_b^cmathrm dl-int_c^d B_2mathrm dl+ 0int_b^cmathrm dl \ =&frac{mu_0I}{2pi r_1}r_1 heta-frac{mu_0I}{2pi r_2}r_2 heta=0 end{split} end{equation*}
现在我们看一下更一般的路径。如果路径包围电流，如图4所示，(vec{B}) 沿图4中闭合路径的环量为，
egin{equation*} oint vec{B}cdot mathrm dvec{l}=oint Bcosphi mathrm dl = oint B rmathrm d heta = oint frac{mu_0I}{2pi r}rmathrm d heta =mu_0I end{equation*}
图4 (vec{B})沿包围电流的一般闭合路径的线积分
如果闭合路径不包围电流，如图5所示，(vec{B})的环量为0，
egin{equation*} oint vec{B}cdot mathrm dvec{l}=0 end{equation*}
图5 (vec{B})沿不包围电流的一般闭合路径的线积分
安培环路定理
我们以上只讨论了平面内的闭合路径，可以证明以上结论也适用于非平面内闭合路径。还可以证明更一般的情况，对于任意稳恒电流（不必是直导线中的电流），上述(vec{B}) 的环量与电流的关系依然成立。根据叠加原理，当有若干个稳恒电流存在时，合磁场(vec{B})沿任意闭合路径的环量为
egin{equation*} oint vec{B}cdot mathrm dvec{l}=mu_0 sum_{内}I_i end{equation*}
式中$ sum_{内}I_i$ 表示环路所包围的电流的代数和，这就是安培环路定理。
这里被“环路所包围的电流”指与环路所铰链在一起的电流。
电流的符号的规定，如果积分路径方向与电流方向满足右手定则，则电流为正，否则为负。
图6 电流回路与安培环路的铰链
如图6所示，安培环路(L)所包围的电流的代数和为(I_1-I_2)，(I_3)与安培环路没有铰链，(I_4)不在环路内。
图7 安培环路与2匝电流铰链
如图7所示，安培环路(L)与2匝电流铰链，因此所包围的电流为(2I)。
安培环路定理里的(vec{B})是所有电流产生的磁感应强度的矢量和，其中包括不被环路所包围的电流所产生的磁场的贡献，只不过它们对环量无贡献。
应用
安培环路定理可以用于计算具有一定对称性的电流分布的磁场分布。
例1 无限长直导线电流的磁场分布。
体系具有柱对称性，以导线为中心做与导线垂直的圆，则圆上各点磁感应强度(vec{B})大小相等，方向沿圆切线方向，于是根据安培环路定理，(vec{B})沿此圆周的环量为
egin{equation*} oint vec{B}cdotmathrm dvec{l}=Bcdot 2pi r = mu_0 I end{equation*}
于是得
egin{equation*} B = frac{mu_0 I}{2pi r} end{equation*}
例2 无限长圆柱电流的磁场分布。设圆柱半径为(R)，总电流为(I)。
体系具有柱对称性，以导线为中心做与导线垂直的圆，圆半径为(r)，则圆上各点磁感应强度(vec{B})大小相等，方向沿圆切线方向。在导体之外，(rgt R) 根据安培环路定理有
egin{equation*} oint vec{B}cdotmathrm dvec{l}=Bcdot 2pi r = mu_0 I end{equation*}
于是得
egin{equation*} B = frac{mu_0 I}{2pi r} end{equation*}
图8 圆柱电流的安培环路
在导体之内，
(rlt R) 根据安培环路定理有
egin{equation*} oint vec{B}cdotmathrm dvec{l}=Bcdot 2pi r = mu_0 frac{Ir^2}{R^2} end{equation*}
于是得
egin{equation*} B = frac{mu_0 Ir}{2pi R} end{equation*}
综合以上结果，磁场分布为：
egin{equation*} B = egin{cases} frac{mu_0 Ir}{2pi R}, & r lt R \ frac{mu_0 I}{2pi r}, & r gt R end{cases} end{equation*}
图9 圆柱电流的磁场分布
例3 通电螺线管的磁场分布。设单位长度匝数为(n)，电流为(I)。
如果螺线管非常长（长度远大于截面大小），螺线管外部几乎没有磁场分布，管内磁场近似为匀强磁场，(vec{B})方向与轴线平行。做矩形闭合路径(abcd)，边(ab)和(cd)与轴线平行，边(bc)和(da)与轴线垂直。
图10 长螺线管安培回路
(vec{B})沿此路径的环量为
egin{equation*} egin{split} oint vec{B}cdotmathrm dvec{l}=&int_a^b Bmathrm dl +int_b^c Bmathrm dl +int_c^d Bmathrm dl +int_d^a Bmathrm dl \ =& BDelta l+0+0+0=mu_0 InDelta l end{split} end{equation*}
于是
egin{equation*} B = mu_0 nI end{equation*}
对于长直密绕螺线管，管内为匀强磁场。
例4 密绕螺绕环的磁场分布。设匝数为(N)，电流为(I)。
根据对称性，磁感线是与环共轴的圆。根据安培环路定理，有
egin{equation*} oint vec{B}cdotmathrm dvec{l}=Bcdot 2pi r = mu_0 NI end{equation*}
于是，
egin{equation*} B = frac{mu_0 NI}{2pi r} end{equation*}
图11 螺绕环安培环路
如果螺绕环半径很小，则上式中(r)与环的平均半径相差不大，于是(frac{ N}{2pi r}approx n)，环内
egin{equation*} B = mu_0 nI end{equation*}
螺绕环内磁场可视为大小均匀的磁场。
由安培环路定理易知，螺绕环外磁场为0。
作业
习题 2-16，2-17
参考资料
- Young and Freedman University Physics, 13th Ed
- 张三慧《电磁学》