LR电路的暂态过程
由电感和电阻组成的电路称为LR电路，如图1所示。
图1 LR电路
如图1，当开关拨向1时，电路中出现自感电动势，
egin{equation*} mathcal{E}_L=-Lfrac{mathrm di}{mathrm dt} end{equation*}
根据欧姆定律，有
egin{equation*} mathcal{E}+mathcal{E}_L=mathcal{E}-Lfrac{mathrm di}{mathrm dt}=iR end{equation*}
这是一个微分方程，其解为
egin{equation*} i=frac{mathcal{E}}{R}+K_1e^{-frac{R}{L}t} end{equation*}
根据初始条件，(t=0)时，(i=0)，因而有
egin{equation*} i=frac{mathcal{E}}{R}left (1-e^{-frac{R}{L}t} ight )=I_0left (1-e^{-t/ au} ight ) end{equation*}
即接通电路后，电流随时间而增长，其最大值(I_0=frac{mathcal{E}}{R})就是电流达到稳定值时的值。其中( au=L/R)为LR电路的时间常量。
不同( au)下，LR电路接通电流随时间的变化如图2所示。
图2 LR电路接通电流随时间的变化
从数学上看，接通电路后，要经历无限长的时间，电流才能达到稳定值。实际上，
egin{equation*} i( au)=I_0left (1-e^{-1} ight )=0.63I_0 end{equation*}
egin{equation*} i(5 au)=I_0left (1-e^{-5} ight )=0.99I_0 end{equation*}
所以，只要(tgg au)，就可认为电流达到稳定值。所以，LR电路的时间常量( au=L/R)可以表征暂态过程持续时间长短。(L)越大，(R越小)，则( au)越大，电流增长得越慢，暂态过程越持久。
将图1中开关从1拨向2，根据欧姆定律，电流(i)满足如下方程
egin{equation*} -Lfrac{mathrm di}{mathrm dt}=iR end{equation*}
并有初始条件，(t=0)时，(i=I_0=frac{mathcal{E}}{R})，因而有
egin{equation*} i=frac{mathcal{E}}{R}e^{-frac{R}{L}t}=I_0 e^{-t/ au} end{equation*}
即断开电源后，电流不是立即变为0，而是按指数衰减，衰减快慢程度用LR电路的时间常量( au=L/R)来表征。电流随时间的变化如图3所示。
图3 LR电路断开，电流随时间的变化
课堂思考：
1 LR电路中，磁能随时间如何变化？
2 图1中，开关接1时，线圈和电阻两端，哪边电势高？
3 如下图所示电路，开关闭合瞬间，电路中电流为多少？很长时间后，电路中电流为多少？
课堂思考3 图
RC电路暂态过程
RC电路暂态过程就是电容器的充放电过程。
图4 RC电路
图4所示电路中，将开关接到位置1，电容器充电，电源电动势为电容器两极板电压与电阻R上的电势降落之和，即
egin{equation*} mathcal{E}=frac{q}{c}+iR=frac{q}{c}+frac{mathrm dq}{mathrm dt}R end{equation*}
其中(i=frac{mathrm dq}{mathrm dt})为电路中的瞬时电流。上式解之得，
egin{equation*} q=Cmathcal{E}left (1-e^{-frac{1}{RC}t} ight )=Cmathcal{E}left (1-e^{-t/ au} ight ) end{equation*}
开关接位置2，电容器放电，有
egin{equation*} 0=frac{q}{c}+iR=frac{q}{c}+frac{mathrm dq}{mathrm dt}R end{equation*}
上式解之得，
egin{equation*} q=Cmathcal{E}e^{-frac{1}{RC}t}=Cmathcal{E}e^{-t/ au} end{equation*}
上式中( au=RC)为RC电路的时间常量，表示充放电过程的快慢。充放电过程中电容器电量(q)随时间变化的曲线如图5、6所示。
图5 RC电路充电过程
图6 RC电路放电过程
课堂思考：
1 RC电路中，电流随时间如何变化？
2 RC电路中，电能随时间如何变化？
LC电路的暂态过程
图7为LC电路。
图7 LC电路
电路满足方程
egin{equation*} -Lfrac{mathrm di}{mathrm dt}=frac{q}{c} end{equation*}
由于(frac{mathrm di}{mathrm dt}=frac{mathrm d^2q}{ dt^2})，于是上式可化为
egin{equation*} frac{mathrm d^2q}{ dt^2}+frac{1}{LC}q=0 end{equation*}
这个方程与简谐振子的方程(frac{mathrm d^2x}{ dt^2}+frac{k}{m}x=0)是一样的，所以方程的解也是类似的，
egin{equation*} q=q_0cos(omega t+phi) end{equation*}
其中(omega=frac{1}{sqrt{LC}})，对于弹簧谐振子(omega=sqrt{k/m})。
LC电路中的瞬时电流
egin{equation*} i=frac{mathrm dq}{mathrm dt}=-omega q_0sin(omega t+phi) end{equation*}
相当于谐振子的质点速度。
LC电路中能量，磁能为(frac{1}{2}Li^2)，相当于谐振子的质点的动能(frac{1}{2}mv^2)，电能为(frac{q^2}{2C})，相当于谐振子的弹簧势能(frac{1}{2}kx^2)。LC电路总能量为
egin{equation*} frac{1}{2}Li^2+frac{q^2}{2C}=frac{q_0^2}{2C} end{equation*}
LC振荡电路中的能量转化如图8所示。
图8 LC振荡电路中的能量转化
图9 LC振荡电路中的能量转化动画
LCR 电路暂态过程
LCR电路如图10所示
图10 LCR电路
电量满足的方程
egin{equation*} -Lfrac{mathrm di}{mathrm dt}=iR+frac{q}{C} end{equation*}
即
egin{equation*} Lfrac{mathrm d^2q}{mathrm dt^2}+Rfrac{mathrm dq}{mathrm dt}+frac{q}{C}=0 end{equation*}
这正是阻尼振动方程。
作业
习题 5-32