割线法
割线法求解方程(f(x)=0)的根需要两个接近真实根(x^*)的初值(x_0)和(x_1)，于是得到函数(f(x))上两个点((x_0,y_0=f(x_0)))和((x_1,y_1=f(x_1)))，连接这两点得到一条直线（割线）：
egin{equation*} y-y_1=frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}(x-x_1) end{equation*}
由于我们要求解(f(x)=0)，因此设(y=0)，由上式解出(x)，作为下次迭代的初值。这个过程一直进行下去，有如下迭代关系：
egin{equation} x_{i+1}=x_i-frac{x_i-x_{i-1}}{y_i-y_{i-1}}y_i ag{6.1}label{6.1} end{equation}
其中(y_i=f(x_i))。以上过程如图6.1所示。
图6.1 割线法求根
割线法需要两个初值，但是不需要求函数的导数。割线法程序如下：
function x = mysecant (f,x0 ,x1 ,n)
% Solves f(x) = 0 by doing n steps of the secant method
% starting with x0 and x1.
% Inputs : f -- the function , input as an inline function
% x0 -- starting guess , a number
% x1 -- second starting geuss
% n -- the number of steps to do
% Output : x -- the approximate solution
y0 = f(x0 );
y1 = f(x1 );
for i = 1:n % Do n times
x = x1 - (x1 -x0 )* y1 /(y1 -y0) % secant formula .
y=f(x) % y value at the new approximate solution .
% Move numbers to get ready for the next step
x0=x1;
y0=y1;
x1=x;
y1=y;
end
盈不足术
盈不足术是割线法和二分法的综合。如二分法，我们先选定两个初始点(a)和(b)，且保证(f(a))和(f(b))异号。然后我们根据割线法，得到新的迭代结果，
egin{equation*} x =b-frac{b-a}{f(b)-f(a)}f(b) end{equation*}
然后我们按照二分法，判断(f(x))的符号，如果(f(x))与(f(a))同号，则把(x)设为新的(a)，否则，把(x)设为新的(b)。注意到，一般情况下，(a)和(b)其中之一逐渐趋近于(x^*)，而不大可能二者共同趋近于(x^*)，因此不大会(b-a rightarrow 0)。比如，图6.1中的函数，(a ightarrow x^*)，而(b rightarrow x^*)。
收敛性
如果我们选的初值(x_0)比较好，牛顿法会很快收敛到(x^*)。割线法要比牛顿法慢一些，盈不足术会更慢。二分法是收敛最慢的。
如果我们选的初值或初始区间不够好，割线法——如牛顿法一样——可能会不收敛。盈不足术——如二分法一样——总是收敛的，因为盈不足术会一直保证根在一个确定的区间内。
模拟和实验
尽管牛顿法最快，但有些情况下，牛顿法不太好用，甚至根本不能用。比如难以导出(f'(x))表达式的情况。在科学和工程中的一些问题中，甚至连(f(x))的表达式都没有，(f(x))是实验和模拟的结果时就是这样的情况。在这样的情况下，割线法一般是最佳选择。
练习
6.1 用纸和计算器对方程(f(x)=x^3-4=0)应用三次盈不足术迭代，初始区间([1,3])，计算各次迭代结果的误差和相对误差，并与练习3.3和5.2结果做比较。
6.2 写出函数程序myregfalsi，实现盈不足术，并使残量绝对值小于给定公差，并将程序解方程(f(x)=2x^3+3x-1=0)，初始区间为([0,1])，公差为(10^{-8})。程序需要迭代多少步？与练习5.1结果做比较。