DNA解链统计物理

来源：Kerson Huang, Lectures on Statistical Physics and Protein Folding, pp 24-25

把双链DNA解开就像拉拉链。设DNA有(N)个链环（link），每个链环有两种状态：闭合着或打开着，后一种状态比前一种状态的能量高(Delta)。打开的链环连续地排在一起，闭合的链环连续地排在一起，如下图所示。由于热涨落，链环会自发闭合或打开。问：打开的链环平均有多少？

DNA的拉链模型

DNA的可能状态用打开的链环数目标记，(n=0,1,2,cdots,N)。具有(n)个打开的链环的DNA的能量为(E_n=nDelta)。配分函数为

egin{equation*} Q_N=sum_{n=0}^N e^{-eta nDelta}=frac{1-e^{-eta (N+1)Delta}}{1-e^{-eta Delta}} end{equation*}

上式用到等比数列求和公式(S_n=frac{a_1(1-q^n)}{1-q})。

打开的链环的平均数为：

egin{equation*} egin{split} overline n=&frac{sum_{n=0}^N ne^{-eta nDelta}}{sum_{n=0}^N e^{-eta nDelta}}=-frac{1}{Delta}frac{partial ln Q_N}{partial eta}\ =&frac{e^{-eta Delta}}{1-e^{-eta Delta}}-frac{(N+1)e^{-eta (N+1)Delta}}{1-e^{-eta (N+1) Delta}} end{split} end{equation*}

低温极限下，(eta Deltagg 1)，打开的链环很少：

egin{equation*} overline napprox e^{-eta Delta} end{equation*}

高温极限下，(eta Deltall 1)，几乎所有的链环都是打开的：

egin{equation*} overline napprox n end{equation*}