非小角单摆（数学摆）的周期

参考：

• Moshe Gitterman，THE CHAOTIC PENDULUM，Chaper 1
• 非线性振动初步

体系

如图所示，体系由一个轻质细杆和末端带有的质点组成，细杆长(l)，质点质量为(m)。

图为数学摆

设摆角为(phi)，忽略所有阻力和摩擦力，有

egin{equation*} ml^2frac{d^2phi}{dt^2}=-mglsinphi end{equation*}

整理得

egin{equation*} frac{d^2phi}{dt^2}+frac{g}{l}sinphi=0 end{equation*}

令(omega_0=sqrt{g/l})，上式即为

egin{equation} frac{d^2phi}{dt^2}+omega_0^2sinphi=0 label{newtondyn} end{equation}

上式两边乘以(frac{dphi}{dt})，

egin{equation*} egin{split} &frac{dphi}{dt}cdotfrac{d^2phi}{dt^2}+omega_0^2sinphifrac{dphi}{dt}=frac{dphi}{dt}cdotfrac{d}{dt}left (frac{dphi}{dt} ight )-omega_0^2frac{dcosphi}{dt}\ &frac{1}{2}frac{d}{dt}left (frac{dphi}{dt} ight )^2-omega_0^2frac{dcosphi}{dt}=0 end{split} end{equation*}

上式对(t)积分，得

egin{equation} E=frac{1}{2}left (frac{dphi}{dt} ight )^2+omega_0^2(1-cosphi) label{energy} end{equation}

积分常数(E)的物理意义是摆的能量。(E)选得摆在最低点时势能为0。

在最大角位移(phi_0)处，角速度(frac{dphi}{dt}=0)，代入eqref{energy}式，得

egin{equation} E= omega_0^2(1-cosphi_0) label{energyexpl} end{equation}

将上式代入eqref{energy}式，得

egin{equation} frac{dphi}{dt} =omega_0sqrt{2(cosphi-cosphi_0)} label{dphidt} end{equation}

设(t=0)时，(phi=0)，经过1/4周期，(t=T/4)时，摆到达最大位移(phi=phi_0)。对eqref{dphidt}式积分，有

egin{equation*} int_0^{T/4}omega_0 dt=int_0^{phi_0}frac{dphi}{sqrt{2(cosphi-cosphi_0)}} end{equation*}

即

egin{equation} egin{split} frac{omega_0 T}{4}=&int_0^{phi_0}frac{dphi}{sqrt{2(cosphi-cosphi_0)}}\ =&int_0^{phi_0}frac{dphi}{2sqrt{sin^2(phi_0/2)-sin^2(phi/2)}} end{split} label{intphi} end{equation}

上式用到了(cosphi=1-2sin^2(phi/2))。

令

egin{equation} sin(phi/2)=sin(phi_0/2)sinpsi label{newvar} end{equation}

(phi)的变化范围是从0到(phi_0)，那么(psi)的变化范围是从0到(pi/2)。再考虑到(cos(phi/2)/2dphi=sin(phi_0/2)cospsi dpsi)，代入eqref{intphi}有

egin{equation} egin{split} frac{omega_0 T}{4}=&int_0^{phi_0}frac{dphi}{2sqrt{sin^2(phi_0/2)-sin^2(phi/2)}}\ =&int_0^{phi}frac{dphi}{2sin(phi_0/2)cospsi }\ =&int_0^{pi/2}frac{dpsi}{cos(phi/2)}\ =&int_0^{pi/2}frac{dpsi}{sqrt{1-sin^2(phi_0/2)sin^2psi}} end{split} label{intpsi} end{equation}

将上式中的被积函数展开成级数，

egin{equation*} egin{split} left [1-sin^2(phi_0/2)sin^2psi ight ]^{-0.5}=&1+frac{1}{2}sin^2(phi_0/2)sin^2psi + \ &frac{3}{8}sin^4(phi_0/2)sin^4psi +cdots end{split} end{equation*}

代入eqref{intpsi}，右边

egin{equation} egin{split} & int_0^{pi/2}frac{dpsi}{sqrt{1-sin^2(phi_0/2)sin^2psi}}=\ & int_0^{pi/2}left [1+frac{1}{2}sin^2(phi_0/2)sin^2psi +frac{3}{8}sin^4(phi_0/2)sin^4psi ight ] dpsi = \ & frac{pi}{2}+frac{pi}{8}sin^2(phi_0/2)+frac{9}{128}sin^4(phi_0/2)+cdots end{split} label{right} end{equation}

代入eqref{intpsi}，考虑到小角摆动周期为(T_0=2pi/omega_0)，得数学摆的周期为

egin{equation} egin{split} T=&frac{2pi}{omega_0}left [1+frac{1}{4}sin^2(phi_0/2)+frac{9}{64}sin^4(phi_0/2)+cdots ight ]\ approx & T_0left [1+frac{1}{4}sin^2(phi_0/2) ight ] end{split} label{period} end{equation}

可见，周期与摆幅(phi_0)有关。只有当摆幅(phi_0)非常小的时候，周期才与摆幅无关。下表是周期与摆幅的对应的关系：

(phi_0)	(0^{circ})	(3^{circ})	(5^{circ})	(10^{circ})	(30^{circ})	(45^{circ})
(T/T_0)	1	0.0002	1.0005	1.0019	1.0174	1.0369

即便摆幅很小，(phi_0lt 5^{circ})，周期也是随摆幅而变的。即便摆幅比较大，如(phi_0 = 45^{circ})，周期也只是比0摆幅极限下的周期(T_0)多了3.7%而已。

中学物理讲单摆有个(5^{circ})神话，即要求单摆摆幅要小于(5^{circ})。应该是因为中学物理实验室的计时仪器最高能精确到毫秒的原因吧。如果计时仪器只能精确到秒，摆幅(45^{circ})也是可以的。