一、群论的框架
应用：计算机（纠错码） 信息安全（加密算法） 数字通信（纠错码）
二、群的定义和性质
1.常见的几种群
| 代数系统 | 半群 | 独异点（含幺半群） | 群 | 阿贝尔群 |
|
二元运算 （运算结果唯一；封闭） |
+可结合 |
+可结合 +单位元 |
+可结合 +单位元 +Va ∈ S，都有 a-1 |
在群的基础上 +可交换 |
| V = (S，o) | V = (S，o) | V = (S，o) | V = (S，o)=>G | G |
2. 群：整数加群，复数加群，有理数加群；<P(A),对称差>。
3. 群的术语
群的阶 ：群中集合元素的个数。
元素 a 的阶：ak = e
平凡群：只含单位元的群 <{0},+>
4.群的幂运算
三、子群与陪群的关系：拉格朗日定理
1.子群判定定理
四、特殊的群
1.定义
| 生成子群（就像由a生成一样） | 循环群 | ||
|
设G为群，a∈G 由a所有的幂构成的集合 |
设G为群，存在a∈G, 使得G = {ak| k∈N}，则称G是循环群 分类：n阶循环群和无限循环群 |
2.循环群的生成元
(1) 无限循环群：只有两个生成元，即 a 和 a-1
（2）G为 n阶循环群，则 G含有欧拉函数（n）个生成群 ，欧拉函数是指小于n并且与 n 互质的数，得到的数r;然后 ar 是生成元。
五、群的扩展——环和域
1.环定义
∈