梯度下降算法以及其Python实现

一、梯度下降算法理论知识

我们给出一组房子面积，卧室数目以及对应房价数据，如何从数据中找到房价y与面积x1和卧室数目x2的关系？

 

 

为了实现监督学习，我们选择采用自变量x1、x2的线性函数来评估因变量y值，得到：

 

 

这里，sita1、sita2代表自变量x1、x2的权重（weights），sita0代表偏移量。为了方便，我们将评估值写作h(x)，令x0=1，则h(x)可以写作：

 

 

其中n为输入样本数的数量。为了得到weights的值，我们需要令我们目前的样本数据评估出的h(x)尽可能的接近真实y值。我们定义误差函数（cost function）来表示h(x)和y值相接近的程度：

 

 

这里的系数1/2是为了后面求解偏导数时可以与系数相互抵消。我们的目的是要误差函数尽可能的小，即求解weights使误差函数尽可能小。首先，我们随机初始化weigths，然后不断反复的更新weights使得误差函数减小，直到满足要求时停止。这里更新算法我们选择梯度下降算法，利用初始化的weights并且反复更新weights：

 

 

这里a代表学习率，表示每次向着J最陡峭的方向迈步的大小。为了更新weights，我们需要求出函数J的偏导数。首先计算只有一个数据样本（x,y）时，如何计算J的偏导数：

 

 

对于只含有一组数据的训练样本，我们可以得到更新weights的规则为：

 

 

扩展到多组数据样本，更新公式为：

 

 

称为批处理梯度下降算法，这种更新算法所需要的运算成本很高，尤其是数据量较大时。考虑下面的更新算法：

 

 

该算法又叫做随机梯度下降法，这种算法不停的更新weights，每次使用一个样本数据进行更新。当数据量较大时，一般使用后者算法进行更新。

二、梯度下降Python实现

自己创建了一组数据，存为csv格式，如下图所示：

 

 

待训练数据A、B为自变量，C为因变量。
在写程序之前，要先导入我们需要的模块。

import numpy as np
from numpy import genfromtxt

首先将数据读入Python中，程序如下所示：

dataPath = r"E:learninghouse.csv"
dataSet = genfromtxt(dataPath, delimiter=',')

接下来将读取的数据分别得到自变量矩阵和因变量矩阵：

def getData(dataSet):
    m, n = np.shape(dataSet)
    trainData = np.ones((m, n))
    trainData[:,:-1] = dataSet[:,:-1]
    trainLabel = dataSet[:,-1]
    return trainData, trainLabel

这里需要注意的是，在原有自变量的基础上，需要主观添加一个均为1的偏移量，即公式中的x0。原始数据的前n-1列再加上添加的偏移量组成自变量trainData，最后一列为因变量trainLabel。
下面开始实现批处理梯度下降算法：

def batchGradientDescent(x, y, theta, alpha, m, maxIterations):
    xTrains = x.transpose()
    for i in range(0, maxIterations):
        hypothesis = np.dot(x, theta)
        loss = hypothesis - y
        gradient = np.dot(xTrains, loss) / m
        theta = theta - alpha * gradient
    return theta

x为自变量训练集，y为自变量对应的因变量训练集；theta为待求解的权重值，需要事先进行初始化；alpha是学习率；m为样本总数；maxIterations为最大迭代次数；
求解权重过程，初始化batchGradientDescent函数需要的各个参数：

trainData, trainLabel = getData(dataSet)
m, n = np.shape(trainData)
theta = np.ones(n)
alpha = 0.05
maxIteration = 1000

alpha和maxIterations可以更改，之后带入到batchGradientDescent中可以求出最终权重值。

theta = batchGradientDescent(trainData, trainLabel, theta, alpha, m, maxIteration)

之后我们给出一组数据，需要进行预测，预测函数：

def predict(x, theta):
    m, n = np.shape(x)
    xTest = np.ones((m, n+1))
    xTest[:, :-1] = x
    yPre = np.dot(xTest, theta)
    return yPre

x为待预测值的自变量，thta为已经求解出的权重值，yPre为预测结果
我们给出测试集

 

 

对该组数据进行预测，程序如下：

x = np.array([[3.1, 5.5], [3.3, 5.9], [3.5, 6.3], [3.7, 6.7], [3.9, 7.1]])
print predict(x, theta)

输出结果如下：

[9.49608552  10.19523475  10.89438398  11.59353321  12.29268244]

我们可以更改学习率和迭代次数进行预测结果的对比：
更改学习率由0.05变为0.1时，结果为：

[ 9.49997917  10.19997464  10.89997012  11.59996559  12.29996106]

发现预测结果要由于学习率为0.05时，这说明学习率0.05选择的偏小，即每一次迈步偏小。
固定学习率为0.05，更改迭代次数为5000时，结果为：

[ 9.5  10.2  10.9  11.6  12.3]

这正是我们想要的预测结果，这说明有限循环次数内，循环次数越多，越接近真实值。但是也不能无限循环下去，需要寻找一个度。
一般达到以下的任意一种情况即可以停止循环：
1.权重的更新低于某个阈值；
2.预测的错误率低于某个阈值；
3.达到预设的最大循环次数；
其中达到任意一种，就停止算法的迭代循环，得出最终结果。
完整的程序如下：

#coding=utf-8

import numpy as np
import random
from numpy import genfromtxt

def getData(dataSet):
    m, n = np.shape(dataSet)
    trainData = np.ones((m, n))
    trainData[:,:-1] = dataSet[:,:-1]
    trainLabel = dataSet[:,-1]
    return trainData, trainLabel

def batchGradientDescent(x, y, theta, alpha, m, maxIterations):
    xTrains = x.transpose()
    for i in range(0, maxIterations):
        hypothesis = np.dot(x, theta)
        loss = hypothesis - y
        # print loss
        gradient = np.dot(xTrains, loss) / m
        theta = theta - alpha * gradient
    return theta

def predict(x, theta):
    m, n = np.shape(x)
    xTest = np.ones((m, n+1))
    xTest[:, :-1] = x
    yP = np.dot(xTest, theta)
    return yP

dataPath = r"E:learninghouse.csv"
dataSet = genfromtxt(dataPath, delimiter=',')
trainData, trainLabel = getData(dataSet)
m, n = np.shape(trainData)
theta = np.ones(n)
alpha = 0.1
maxIteration = 5000
theta = batchGradientDescent(trainData, trainLabel, theta, alpha, m, maxIteration)
x = np.array([[3.1, 5.5], [3.3, 5.9], [3.5, 6.3], [3.7, 6.7], [3.9, 7.1]])
print predict(x, theta)

我是一个机器学习的小白，刚刚开始接触，从最基本的也是很重要的梯度下降开始学习。这篇文章是我对梯度下降的理解，还有很多不完善的地方，我只给出了批量梯度下降算法的python实现，随机梯度下降还需要我进一步编写，而且关于循环停止，本文只是最简单的循环次数停止，等等，还有很多问题，以后会继续更近并改进该文章。写下来就是为了随时随地翻出来看看，巩固知识，并不断改进。