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你一定听说过『神经网络络可以拟合任意连续函数』这句话。
没错，通过增加网络的隐藏层数量和隐藏层大小，你可以得到强大的学习网络，无论是二次三次函数，还是正弦余弦，都可以用你的网络进行无限逼近。
好了，打住，今天我不是来教你逼近这种简单函数的（这种内容应该在学习深度学习的第一天就已经解决了）。让我们来考虑这个情况——当我们要拟合的『函数』，不止有一个值会怎样？
严格来说，『多值函数』不是严谨的定义，良好定义的『函数』在其定义域内的每个输入都对应一个输出，而且只对应一个输出[1]。然而实际上我们经常要处理一些多值问题，比如反三角函数（arcsin, arccos 等等），所以现在问题来了，当我们希望拟合的函数有多个输出值的时候，我们的神经网络模型应该怎么定义呢？
第一个任务：单值函数拟合
让我们先回忆单值函数是怎么拟合的，下面我将用 tensorflow 来演示一个超简单的网络拟合。我们首先要设计一个函数，以产生点集，用于后面的拟合，我们选用的是正弦函数：
f(x) = 7.0sin(0.75x) + 0.5x
在生成数据的时候，还会加入一些随机的噪声。
这些数据点可视化的结果是这样的：
现在我们设计一个具有一个隐藏层的简单网络进行拟合，我们希望用神经网络模型设计一个函数 y = f'(x)，在一定区间上可以达到处处 |f'(x) - f(x)|
现在我们看一下结果，其中蓝色是训练数据，红色是网络的输出值，可以看到，红色的点几乎完美地排成了一条阶段上升的曲线。
交换坐标轴
现在我们进一步，将数据点的 x 轴与 y 轴交换，这样我们就有了一个多值函数的输入。在 python 中，交换两个轴的数据非常简单：
现在我们的 x 可能会对应多个 y，如果再套用以前的方法，结果就不那么理想了。
是的，我们原来的模型已经失效了，无论增加多少层，增大多少节点数，都不能拟合多值函数曲线。所以，现在我们应该怎么办？
混合密度网络：薛定谔的猫
在前面的代码中，我们对于多值函数的预测走入了一个误区：我们的神经网络最后的输出是一个确定值，然而实际上我们需要的是多个『可能』的值。你也许会想，用神经网络输出多个值并不难呀，只要定义最后的输出层节点数大于 1 就可以了。是的，你可以定义一个多输出的网络（比如 3），然后每次输出 3 个预测值，然而这个网络的效果肯定是非常差的（你可以自己思考一下为什么）。
现在我们换一种思路——假如我们输出的不是一个值，而是目标值的一个『可能分布』，比如当 x=1 时，我们得到 y 有两个取值 { 1, -1 }，并且每个取值的概率都是 0.5。这就像薛定谔的那只量子叠加态的猫一样，我们得到的结果是一个概率分布，只有当我们进行一次『观察』时，才会得到一个具体结果！
使用这个思想设计的网络就叫混合密度网络(Mixture Density Network)，用处相当大。
你也许会问，概率究竟应该怎么表示呢，难道是输出一个类似 one-hot 表示的数组吗？显然我们不能使用 one-hot 来表示这个概率分布，因为我们输出的值域是连续的浮点数，我们不可能用有限的数组来表达。这里就要引入一个统计学里面的很常见的概念了，就是高斯分布。
高斯分布的概率密度曲线表示为：
这里面的参数只有两个，一个是均值 mu，一个是标准差 simga，通过改变这两个量，我们可以得到多样的概率分布曲线。
而通过组合多个高斯概率分布，理论上我们可以逼近任意概率分布。比如将上面的三个分布按概率 1: 1: 1，混合为一个分布：
所以我们的思路就比较清晰了：我们要设计这么一个网络，输入 x ，输出一个混合概率分布（即多个 mu 和 sigma 的组合值），而我们需要获取真正的预测值的时候，就从这么个混合概率分布中产生一个随机值，多次取随机值则可以得到所有 y 的可能值。混合概率网络的实现也很简单，我们设计一个具有两个隐藏层的网络，输出层节点数为 12 * 3 个，可以表示为 12 个高斯分布的叠加，我们用前 12 个节点表示 12 个高斯分布叠加时各自的权重，而中间 12 个表示平均数 mu，最后 12 个表示标准差 sigma。
我们的 loss 函数不能是和之前一样的平方差来表示，我们希望最大化真实的 y 值在混合概率密度中的概率，将经过标准化的 y_normal 与概率权重相乘，并取对数相加后取相反数，这个结果就是概率联合分布的最大似然函数。
运行我们的网络：
生成数据测试一下。
注意，由于我们得到的是一个概率分布，所以还需要根据预测出的联合概率密度来随机生成具体的点。在测试中，我们对于每一个输入 x 都成生 10 个随机点。最终得到的生成图像如下：
wow！完美，我们的混合密度网络真的拟合了这个多值函数，虽然有一点小瑕疵，实际上我自己通过增加节点数或者隐藏层后，生成的图像非常好，你也可以动手试试。
[1]https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%9A%E5%80%BC%E5%87%BD%E6%95%B0
[2]http://blog.otoro.net/2015/11/24/mixture-density-networks-with-tensorflow/