博弈论学习笔记（十）混合策略

混合策略的定义

假设Pi表示采用每个纯策略的概率，我们用Pi(Si)表示在混合策略Pi下，参与者采用策略Si的概率；即Pi(Si)是Pi赋予纯策略Si的概率。
举个例子，在剪刀石头布的博弈中，对于参与者i，Pi=(1/3,1/3,1/3)，选石头的概率即Pi(R)=1/3。
混合策略可以是一个纯策略。
混合策略Pi的期望收益是该混合策略中每个纯策略预期收益的加权平均数。

对应的游戏有：网球游戏、棒球游戏、约会和交税问题。这里主要介绍一下网球游戏。

网球问题

攻击方和防守方的策略及收益：

结论：这里存在两个纯策略纳什均衡：（L,l）和（R,r）。
除此之外还有一个混合策略纳什均衡：
对于参与者1，
	U1(L) = 2 * q + 0 * (1-q) = 2 * q
	U1(R) = 0 * q + 1 * (1-q) = 1 - q
	在纳什均衡时，U1(L) = U1(R)，q = 1/3
对于参与者2，
	U2(l) = 1 * p + 0 * (1-p) = p
	U2(r) = 0 * p + 2 * (1-p) = 2 - 2 * p
	在纳什均衡时，U2(l) = U2(r)，p = 2/3
当q确定是，无论参与者1选择怎样的概率，其收益都是固定的。
同样，当p确定时，无论参与者2选择怎样的概率，其收益也是固定的。

    如果一个混合策略是最佳策略，那么他的该策略中的每一个纯策略也是最佳策略。
    混合测略达到纳什均衡后，改变自己的策略收益是不变的，因为收益取决于对手选择各个策略的频率。