斐波那契堆(Fibonacci heap)原理详解(附java代码实现)

前言

　　斐波那契堆(Fibonacci heap)是计算机科学中最小堆有序树的集合。它和二项式堆有类似的性质，但比二项式堆有更好的均摊时间。堆的名字来源于斐波那契数，它常用于分析运行时间。

     

堆结构介绍

　　基本术语介绍：

　　关键字：堆节点储存的用于比较的信息

　　度数：堆节点拥有的孩子数(注意，不包括孩子的孩子)

　　左兄弟：节点左边的兄弟节点

　　右兄弟：节点右边的兄弟节点

　　mark:是否有孩子节点被删除

 

　　斐波那契堆是一系列无序树的集合，每棵树是一个最小堆，满足最小堆的性质。(注意，树是无序的，所以不要纠结树该怎么排序)。堆保存了堆中所有节点的数目，保存了最小关键字的节点(这是整个堆的唯一入口，根据这个最小节点可以获取整个堆的任何节点)。

　　堆的节点是堆的最小单位，它是双向链表的节点，意味着它保存了上下节点的信息，如下图,(也能看出树的根节点排列是无序的)。

　　

　　它主要有如下性质：

　　1、关键字

　　2、度数

　　3、左兄弟

　　4、右兄弟

　　5、父节点

　　6、孩子节点(任一个孩子节点，随意)

 

堆基本操作

　　一、插入操作

　　　　1、创建一个节点，如21

　　

　　2、把新建的节点插入到根链表中，如果是最小值，则更新它为堆的最小节点。插入位置没有规定，一般习惯插入到min的左边。把堆的“所有节点数”值加1

　　

　　3、插入操作完成了(插入并不会对堆进行修改，修改是在其他操作中进行的，所以比较简单)

 

　　二、删除最小节点

　　　　1、删除最小节点，并把它的所有孩子合并到堆的根链表中，并更新min

 

　　2、合并根节点的树，使任何树的度(rank)不相等

　　　　观察到7有1个孩子节点，即度为1，先保存起来，由于是初始的，肯定没有和7度相同的

　　　　接着下一个根节点24，度为2，继续。

　　　　23, 度为1，继续

　　　　17, 度为1。 由于已经有度为1的根节点了，所以需要合并这两个节点

　　　　根据最小堆得性质，把23合并到17上，作为17的孩子节点

　　　　此时17的度为2，仍然重复，继续合并，直到没有度一样的根节点

 

　　　　最终结果如下图

 

　　　　

 

　　三、减小key值

　　　　如果没有违背最小堆的性质，直接减小key的值

　　　　否则，把以key为根节点的树合并到堆的根链表中

　　　　如果有一个节点有两个孩子移除了，把这个节点也合并到根链表中，并且unmark它

　　　　

　　　　现在举一个例子来说明各种可能情况

　　　　1、不违反最小堆性质

　　　　　　把46减小为29，不违反最小堆性质，不改变堆结构

　　

　　　　2、违反最小堆性质，合并到根链表中，并且unmark 它

　　　　　　把29减小为15，违反了堆性质

　　

　　　　把15合并到根链表中

　　如果父节点没有mark(没有失去孩子), 设置它为mark

　　

　　如果父节点已经是mark，则把父节点合并到根链表中，并设置为unmark。

　　把节点35减小到5　

　　

　　由于违反了，把5合并到根

　　由于26已经mark，把26这个子树合并到根

　　同理24合并到根

　　由于7已经是根节点了，停止，全部结束

　　四、删除节点

　　　　删除节点比较简单，主要分为两步

　　　　1、把节点值decrease比堆最小值还小

　　　　2、删除最小值

 

java代码实现(仅供参考，逻辑并不十分严谨)

public class FibonNode<T extends Comparable<T>> {

    public T key;
    
    public FibonNode<T> child;
    
    public FibonNode<T> left;
    
    public FibonNode<T> right;
    
    public boolean mark;
    
    public FibonNode<T> parent;
    
    public int degree;
    
    public FibonNode(T key){
        this.degree = 0;
        this.key = key;
        this.parent = null;
        this.child = null;
        this.left = null;
        this.right = null;
        this.mark = false;
    }
}

public class FibonHeap<T extends Comparable<T>> {

    private int keyNum;

    private FibonNode<T> min;

    /*
     * 保存当前指针
     */
    private FibonNode<T> current;

    /*
     * 保存各个度对应的节点,如度为1的节点对应的节点
     */
    private Map<Integer, FibonNode<T>> degreeNodes;

    public FibonHeap(T key) {
        min = new FibonNode<T>(key);
        keyNum += 1;
        min.left = min;
        min.right = min;
    }

    /*
     * 插入值
     */
    public void insert(T key) {
        FibonNode<T> node = new FibonNode<T>(key);
        insert(node);
    }

    
    /*
     * 删除最小值
     */
    public void deleteMin() {
        degreeNodes = new HashMap<Integer, FibonNode<T>>();
        removeMinNode();
        consolidate();

    }
    
    /*
     * 删除节点
     */
    public void deleteNode(FibonNode<T> node){
        T everSmall = null;
        decrease(node, everSmall);
        deleteMin();
    }
    
    /*
     * 合并堆
     */
    public FibonHeap<T> union(FibonHeap<T> heapA, FibonHeap<T> heapB){
        FibonNode<T> minA = heapA.min;
        FibonNode<T> minB = heapB.min;
        minA.right = minB;
        minA.right.left = minB.right;
        minB.left = minA;
        minB.right.left = minA.right;
        FibonNode<T> min = minA;
        if(minB.key.compareTo(minB.key) < 0){
            min = minB;
        }
        heapA.min = min;
        heapA.keyNum += heapB.keyNum;
        return heapA;
    }
    
    private void insert(FibonNode<T> node) {
        //插入就是直接更新左右节点就可以了
        min.left.right = node;
        node.left = min.left;
        node.right = min;
        min.left = node;
        T minKey = min.key;
        if (node.key.compareTo(minKey) < 0) {
            min = node;
        }
        keyNum += 1;
    }
    
    /*
     * 把节点从堆中删除
     */
    private void removeMinNode() {
        FibonNode<T> left = min.left;
        if (left == min) {
            //说明只剩最后一个节点了，也就是最小节点自己
            if (min.child != null) {
                min = null;//这里不是null，应该是孩子节点中最小节点，笔者没有写完而已
            }
        } else {
            deleteInList(min);
            addChToR(min);
            min = left;    //    先随意选个节点作为最小节点，在随后环节会更新的
        }
        keyNum--;
    }


    /*
     * 把根节点合并使其所有节点的度不相等
     */
    private void consolidate() {
        current = min;
        do {
            current = putDegreeNodes(current);
            if (current.key.compareTo(min.key) < 0) {
                min = current;
            }
            current = current.right;
        } while (current != min && current.left != current);
    }

    /*
     * 
     */
    private FibonNode<T> putDegreeNodes(FibonNode<T> node) {
        int nodeDegree = node.degree;
        //从map中找节点对应的度是否存在，存在说明有相同度的节点了，需要合并
        FibonNode<T> nodeInMap = degreeNodes.get(nodeDegree);    
        if (nodeInMap == null) {
            degreeNodes.put(nodeDegree, node);
        } else {
            if (node.key.compareTo(nodeInMap.key) < 0) {
                deleteInList(nodeInMap);
                nodeInMap.left = nodeInMap;
                nodeInMap.right = nodeInMap;
                node = fibLink(node, nodeInMap);
                nodeInMap = node;
            } else {
                deleteInList(node);
                node.left = node;
                node.right = node;
                nodeInMap = fibLink(nodeInMap, node);

                node = nodeInMap;
            }
            degreeNodes.put(nodeDegree, null);
            node = putDegreeNodes(node);
        }
        return node;
    }

    private FibonNode<T> fibLink(FibonNode<T> parent, FibonNode<T> child) {
        if (parent.child == null) {
            parent.child = child;
            
        } else {
            parent.child = insertCyle(parent.child, child);
        }
        child.parent = parent;
        parent.degree += 1;
        return parent;
    }

    /*
     * 从所在链中删除
     */
    private void deleteInList(FibonNode<T> node) {
        FibonNode<T> left = node.left;
        FibonNode<T> right = node.right;
        left.right = right;
        right.left = left;
    }

    /*
     * 插入到链中
     */
    private FibonNode<T> insertCyle(FibonNode<T> target, FibonNode<T> node) {
        FibonNode<T> left = target.left;
        left.right = node;
        node.left = target;
        node.right = target;
        target.left = node;
        return target;
    }

    /*
     * 把孩子节点添加到根链表中
     */
    private void addChToR(FibonNode<T> node) {
        FibonNode<T> aChild = node.child;
        if (aChild == null) {
            return;
        }
        do {
            //孩子节点循环插入根
            FibonNode<T> right = aChild.right;
            min.right = insertCyle(min.right, aChild);
            aChild = right;

        } while (aChild != node.child);
    }
    
    public void decrease(FibonNode<T> target, T key){
        FibonNode<T> parent = target.parent;
        if(target.key.compareTo(key) < 0){
            System.out.println("只能减少key值");
            return;
        }
        if(parent == null){
            //如果修改节点是根节点，直接修改
            target.key = key;
            if(key.compareTo(min.key) < 0){
                //更新最小节点
                min = target;
            }
            return;
        }
        if(parent.key.compareTo(key) < 0){
            //如果值修改稿后不违反最小堆，直接修改即可
            target.key = key;
            return;
        }
        cutAndMeld(target);
        parent = cascadingCut(parent);
    }
    
    /*
     * 删除节点，并合并到根中
     */
    private void cutAndMeld(FibonNode<T> target){
        target.parent = null;
        target.mark = false;
        insert(target);
    }
    
    /*
     * 级联删除，使其符合斐波那契堆性质
     */
    private FibonNode<T> cascadingCut(FibonNode<T> parent){
        if(null == parent){
            return null;
        }
        parent.degree--;
        if(parent.mark == false){
            parent.mark = true;
        }else{
            cutAndMeld(parent);
            parent = cascadingCut(parent);
        }
        return parent;
    }
    
    
}

参考文献

　　http://staff.ustc.edu.cn/~csli/graduate/algorithms/book6/chap21.htm

　　斐波那契堆(一)之 图文解析 和 C语言的实现

　　fibonacci-heap

　　Fibonacci_heap