一个长度为 (n) 的全是 (8) 的数可以写成 (dfrac{8}{9}(10^{n}-1)),于是题目中的条件我们就可以表示为 (kL=dfrac{8}{9}(10^{n}-1))((kinmathbb{N}^*))。移个项,得到 (9k(L/8)=10^{n}-1)。
令 (A=L/gcd(L,8),B=8/gcd(L,8)),则 (9kcdot(A/B)=10^n-1)。因为 (gcd(A,B)=1),为了保证式子左边是整数,(kmod B) 的值一定等于 (0)。
将上面的式子左右两边同时 (mod 9A),有 (10^n-1equiv 0pmod{9A}) 即 (10^nequiv 1pmod{9A})。根据欧拉定理,如果 (gcd(10,9A)=1),就有 (10^{varphi(9A)}equiv 1pmod{9A}),对于 (n) 我们就有了一个解 (varphi(9A)),但这个答案不一定是最优的。易证,最优解 (x_0) 一定满足 (varphi(9A)mod x_0=0),于是我们就可以枚举 (varphi(9A)) 的因数 (x),看它是否满足 (10^xequiv 1pmod{9A}),在所有满足条件的 (x) 中取最小的就是 (x_0)。
另,快速幂会爆 long long
,要用龟速乘。
code:
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
#define int long long
inline int phi(int n)
{
int ans=n;
for(int i=2;i*i<=n;i++)
{
if(n%i==0)
{
ans=ans/i*(i-1);
while(n%i==0) n/=i;
}
}
if(n>1) ans=ans/n*(n-1);
return ans;
}
inline int mul(int a,int b,int mod)
{
int ans=0;
while(b)
{
if(b&1) ans=(ans+a)%mod;
a=(a+a)%mod;
b>>=1;
}
return ans;
}
int gcd(int a,int b) {return b==0?a:gcd(b,a%b);}
inline void read(int &x)
{
x=0;
int f=1;
char c=getchar();
while(c<'0' || c>'9')
{
if(c=='-') f=-1;
c=getchar();
}
while(c>='0' && c<='9')
{
x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);
c=getchar();
}
x*=f;
}
inline int qpow(int a,int n,int mod)
{
int ans=1;
while(n)
{
if(n&1) ans=mul(ans,a,mod);
a=mul(a,a,mod);
n>>=1;
}
return ans;
}
signed main()
{
int Case=0;
while(true)
{
int L;read(L);
if(!L) break;
int A=L/gcd(L,8),p=phi(9*A);
int ans=0x7f7f7f7f7f7f7f7f;
for(int i=1;i*i<=p;i++)
{
if(p%i) continue;
if(qpow(10,i,9*A)==1)
{
ans=i;
break;
}
if(i*i!=p && qpow(10,p/i,9*A)==1) ans=p/i;
}
printf("Case %lld: %lld
",++Case,ans==0x7f7f7f7f7f7f7f7f?0:ans);
}
return 0;
}