0.前言
由于机房巨神都学了这玩意，以前也没接触过这些科技，于是决定拿出一晚上搞（颓）一搞（颓）。
基本上是照着 OI Wiki 学的，有的证明会比较感性甚至懒得证。
1.图论基础
一些简单的定义不放了，可以参照《组合数学》（冯荣权，宋春伟）第七章图论。
定理 (1.0) 设最小团覆盖数为 (kappa(G))，则 (alpha(G)lekappa(G))。
定理 (1.1) 弦图的导出子图为弦图。
证明：若非弦图，则原图中有多于三元环，矛盾。(Box)
定义 (1.2) 将 (u,v) 间割点的集合称为点割集。
引理 (1.3) 设删去极小点割集 (I) 后包含 (u,v) 的连通块为 (G_u,G_v)，则 (forall xin I,N(x)cap G_u
evarnothing,N(x)cap G_v
evarnothing)。
证明：反证即得。(Box)
定理 (1.4) 弦图中任两点间极小点割集的导出子图为团。
证明：数学归纳法。设极小点割集为 (I)，则 (|I|=1) 时成立。
若 (|I|>1)，设 (u,vin I)，由引理 (1.3) 易知，存在 (u_1,u_2in N(u),v_1,v_2in N(v)) 满足 (u_1,v_1in G_u,u_2,v_2in G_v)。
令 (usim v) 为 (u,v) 之间最短路径，则此时显然存在多于四元环 (u-u_1sim v_1-v-v_2sim u_2-u)，由于原图为弦图，所以环上必有至少一条弦。
而显然这条弦只能连接 (u,v)，于是定理得证。(Box)
定义 (1.5) 若 ({x}+N(x)) 的导出子图为团，则称 (x) 为单纯点。
引理 (1.6) 弦图至少有一个单纯点，不是完全图的弦图至少有两个不相邻单纯点。
证明：数学归纳法。显然点数 (le3) 时成立。
设点数 (<n) 时成立，当前图（非完全图）有 (n) 个点，设 (I) 为 (u,v) 间极小点割集，若 (G_u+I) 为完全图，则 (u) 即为单纯点；否则，(G_u+I) 为弦图，必存在两个不相邻单纯点。由于 (I) 的导出子图为团，所以 (G_u) 中必存在一个单纯点。于是定理得证。(Box)
定义 (1.7) 一个图的完美消除序列（PEO）定义为 (1sim n) 的一个排列 (v_1,dots,v_n)，满足任意 (v_i) 在 ({v_i,dots,v_n}) 的导出子图中为单纯点。
定理 (1.8) 弦图 (Leftrightarrow) 存在 PEO。
证明：由引理 (1.6) 易证充分性，由反证法易证必要性。(Box)
2.弦图的判定
先来看如何求 PEO，暴力求显然不行，于是就有了最大势算法（Maximum Cardinality Search）。
算法流程是这样的：倒序给点标号，设 (c_x) 为 (N(x)) 中已标号的点数，则每次标 (c) 最大的点。
正确性证明先咕着，想起来了再补。
MCS 算法只是求出了一个序列，如果我们不知道原图是否为弦图，那么就需要判断一下。
判断方法很简单，只需判断 (v_i) 在 ({v_i,dots,v_n}) 中相邻点中最小点是否与其他点连通即可。
那么，我们用 (O(n+m)) 的复杂度解决了弦图判定问题。
3.弦图的美妙性质
3.1 最大独立集/最小团覆盖
洛谷P3852 [TJOI2007]小朋友
PEO 上从前往后依次选择即可。
正确性：设通过这种方式选出了 (k) 个点，则 (kappa(G)le klealpha(G))，又 (alpha(G)lekappa(G))，所以 (k=alpha(G)=kappa(G))。
3.2 色数/团数
洛谷P3196 [HNOI2008]神奇的国度
PEO 上从后往前依次染色即可。
正确性：与 3.1 类似，留作练习。
如果不需要染色方案，还可以求 (max{|{x}+N(x)|})（这里的 (N(x)) 是 PEO 上 (x) 之后的邻居，下同）。
3.3 极大团
弦图的极大团一定是某一个 ({x}+N(x))，而我们需要判定是否为极大团。
设 (G={x}+N(x),H={y}+N(y))，若 (Gsubset H)，则 (G) 不是极大团并且 PEO 上 (y) 在 (x) 前。
设 (operatorname{next}(x)) 为 (N(x)) 中最靠前的点，(y^*) 为所有 (y) 中最靠后的点，那么 (operatorname{next}(y^*)=x)。
所以只需判断是否存在 (y) 满足 (operatorname{next}(y)=x,|N(x)|+1le|N(y)|) 即可。
4.后记
这篇文章仅介绍了与弦图有关的一部分内容，cdq 的论文中还提到了区间图、极大团树等科技，以后会加以补充。
由于学得比较仓促，所以仅仅是入门水平，如果有描述不清或事实性错误请指出。
其实这部分内容挺简单的，前提是你要感性理解。