[瞎搞]Beta 函数闲谈

ajthreac 又来学没用的东西了
屑 ajthreac 并没有系统地学习过数学分析，仅仅是因为看到有题可以用它优化而学习，以下的一些证明很有可能是瞎扯
Beta 函数是与第二类欧拉积分 Gamma 函数齐名的第一类欧拉积分。
Beta 函数的定义：(Beta(p,q)=int_0^1x^{p-1}(1-x)^{q-1} ext{d}x)，显然 (Beta(p,q)=Beta(q,p))。
它拥有一个美妙的性质：(Beta(p,q)=dfrac{Gamma(p)Gamma(q)}{Gamma(p+q)})。
证明很简单，代换一下就出来了：

[egin{aligned} Gamma(p)Gamma(q)&=int_0^{+infty} ext{e}^{-s}s^{p-1} ext{d}sint_0^{+infty} ext{e}^{-t}t^{q-1} ext{d}t\ &=4int_0^{+infty} ext{e}^{-x^2}x^{2p-1} ext{d}xint_0^{+infty} ext{e}^{-y^2}y^{2q-1} ext{d}y\ &=4int_0^{+infty}int_0^{+infty} ext{e}^{-(x^2+y^2)}x^{2p-1}y^{2q-1} ext{d}x ext{d}y\ &=4int_0^{+infty} ext{e}^{- ho^2} ho^{2(p+q)-1} ext{d} hoint_0^{frac{pi}{2}}cos^{2p-1} hetasin^{2q-1} heta ext{d} heta\ &=int_0^{+infty} ext{e}^{-t}t^{p+q-1} ext{d}tint_0^1x^{p-1}(1-x)^{q-1} ext{d}x\ &=Gamma(p+q)Beta(p,q) end{aligned} ]

先把 (s,t) 换成 (x^2,y^2)，然后对 (x,y) 进行极坐标代换，最后把 ( ho^2,cos^2 heta) 换成 (t,x)。
那么由于当 (p,q) 为正整数时 (Gamma) 函数是阶乘，所以它的特殊情况 (Beta(p,q)=dfrac{(p-1)!(q-1)!}{(p+q-1)!}) 可能会用于推导一些美妙的式子。
例题：CF1153F。
在一些有趣的题目中提到了这题的常规 dp 做法，可以先看看那里是怎么做的。（那篇博客暂时没有发出来）
首先 ([0,1)) 上一个点 (x) 被随机线段覆盖的概率显然是 (1-x^2-(1-x)^2=2x(1-x))。
然后枚举线段条数就得到被不少于 (k) 条线段覆盖的概率 (sumlimits_{i=k}^ndbinom{n}{i}[2x(1-x)]^i[1-2x(1-x)]^{n-i})。
那么根据定义最终的期望为：

[egin{aligned} &int_0^1sum_{i=k}^ninom{n}{i}[2x(1-x)]^i[1-2x(1-x)]^{n-i} ext{d}x\ =&sum_{i=k}^ninom{n}{i}sum_{j=0}^{n-i}inom{n-i}{j}(-1)^jint_0^1[2x(1-x)]^i[2x(1-x)]^j ext{d}x\ =&sum_{i=k}^nsum_{j=0}^{n-i}inom{n}{i}inom{n-i}{j}(-1)^j2^{i+j}Beta(i+j+1,i+j+1)\ end{aligned} ]

然后对组合数作一下变换 (dbinom{n}{i}dbinom{n-i}{j}=dbinom{n}{i+j}dbinom{i+j}{j}) 就可以直接对 (i+j) 换元了。

[sum_{i=k}^ninom{n}{i}2^iBeta(i+1,i+1)sum_{j=0}^{i-k}(-1)^jinom{i}{j} ]

然后到这暴力的读者已经可以展开 (Beta) 快乐卷积了，不过记性好的读者可能想起来同行二项式系数的交错和 (sumlimits_{j=0}^{i-k}(-1)^jdbinom{i}{j}=(-1)^{i-k}dbinom{i-1}{i-k})。
所以最终我们就可以 (O(n)) 求解 (sumlimits_{i=k}^ndbinom{n}{i}dbinom{i-1}{i-k}(-1)^{i-k}2^iBeta(i+1,i+1)) 了！足足碾掉了 std 一个 (n) 并且不像卷积做法受到模数的限制！

通过上面这题的推导我们发现 Beta 函数这种看起来和 OI 毫不相干的东西也有可能在某些题目上展现惊人的作用，毒瘤出题人可以尝试利用。