中国剩余定理（孙子定理）

　　中国剩余定理，也叫孙子定理，是数论中的又一个重要定理，那么它是干什么用的呢？简单来说，这是一个用来求一元线性同余方程组的定理。叫做孙子定理的原因就是该定理最早可见于南北朝时期的著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下：

　　有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？

　　翻译一下，就是说，一个数除以三余二，除以五余三，除以七余二，求这个整数。

　　接下来，我们把这一道题作为例题，探究一下如何利用孙子定理搞定同余方程组

例1：

　　求解一元线性同余方程组：

　　　　　　　　　　　　　　x ≡ 2 ( mod 3 )

　　　　　　　　　　　　　　x ≡ 3 ( mod 5 )

　　　　　　　　　　　　　　x ≡ 2 ( mod 7 )

　　解：

　　　　做题依据：

　　　　当p₁ , p₂ , ……互质的时候，有 x ≡ （a₁ q₁ q_1^-1 + a₂ q₂ q_2^-1 +……）mod P

　　　　其中P = p₁ p_2……， q_i = p / p_{i ，}q_i^-1 为 q_i 在模p_{i 意义下的逆元}

　　　　对于这道题，x ≡ （2 * 35 * 2 + 3 * 21 * 1+ 2 * 15 * 1）mod 105 = 23

例2：

　　求解一元线性同余方程组：

　　　　　　　　　　　　　　x ≡ 3（mod 12）

　　　　　　　　　　　　　　x ≡ 2（mod 18）

　　解：

　　　　做题依据

　　　　当p不互质时，有x ≡ a₁ ( mod p₁ ) = = > x = a₁ + p₁ b_1,  x ≡ a₂ ( mod p₂ ) = = > x = a₂ + p₂ b₂

　　　　所以p₁ b₁ - p₂ b₂ = a₂ - a₁

　　　　用扩展欧几里得得解

　　　　因此不断合并方程即可

代码实现参考拓展欧几里得算法https://www.cnblogs.com/juruohqk/p/10544298.html

2019-04-09 11:39:10