行列式的相关知识

萌新刚学行列式，赶紧记下来怕忘qwq

　　目录（就是会讲什么东西，如果没有你需要的，就换一篇吧，时间宝贵）：

　　$1 二阶与三阶行列式

　　$2 全排列和对换 【前两条是为了便于理解第3条】

　　$3 n阶行列式的定义

　　$4 行列式的性质 

　　$5 行列式按行（列）展开 【学到这里，就可以结合$3、$4开始我们的行列式求值之旅啦QAQ】

$1 二阶与三阶行列式：

　　•引子（二阶行列式）：

　　　　同学们都学过二元一次方程组（以下称为“二元线性方程组”），如果我们把其中的系数都改为带角标的字母，就会得到下面的式子：

　　　　　　a₁₁x₁ + a₁₂x₂ = b₁　　　　　　（1）                

　　　　　　a₂₁x₁ + a₂₂x₂ = b₂　　　　　　（2）

　　　　（见到这个式子，同学们一定很头痛，但如果你认真阅读以下的文字，相信你会豁然开朗的！）

　　　　我们可以用学过的“消元法”解这个方程，即：

　　　　　　消去x₁的过程：将（1）式左右两边同时乘以a₂₂，同时将（2）式左右两边同时乘以a₁₂，得到：

　　　　　　a₁₁a₂₂x₁ + a₁₂a₂₂x₂ = b₁a₂₂　　　　　　（3）

　　　　　　a₂₁a₁₂x₁ + a₁₂a₂₂x₂ = b₂a₁₂　　　　　　（4）

　　　　　　（3）式减去（4）式可以得到

　　　　　　a₁₁a₂₂x₁ - a₂₁a₁₂x₁ = b₁a₂₂ - b₂a₁₂（这里就把x₂消去了）

　　　　　　经过一系列操作可得到

　　　　　　x₁ = ( b₁a₂₂ - b₂a₁₂ ) / ( a₁₁a₂₂ - a₂₁a₁₂ )

　　　　　　消去x₂的过程：（同上）

　　　　　　进过一系列操作亦可得到

　　　　　　x₂ = ( b₂a₁₁ - b₁a₂₁ ) / ( a₁₁a₂₂ - a₂₁a₁₂ )

　　　　这样，我们就得到了一个“公式”去计算二元线性方程组，但是这个公式很难记，而且不能解决大于二次的况，于是我们再次观察上面的“公式”，会发现两个式子的分母部分都是一样的，如果我们吧二元线性方程组的系数提取出来，可以得到：

　　　　　　a₁₁     a₁₂

　　　　　　a₂₁     a₂₂ 　　　　　　

　　　　分母就可以写成这个方阵向右下的对角线上的两个元素之积，减去另一条对角线上两个元素之积。对于这两个式子的分子，可以将x_i的第i列替换上面这个方阵中的第i列，再次进行上述操作，即可得到

　　　　我们发现，对于任意一个形如上式的2 × 2方阵D，都可以用上述方法求得一个数（代表了这个方阵的值，求值式子叫做方阵的行列式），这样的方阵D可以记为det(D)，这样，我们就完成了对二阶行列式的初步探究。（注意：行列式写成方阵时，两侧要加上“|”）

　　•三阶行列式定义：

　　　　设有9个数排列成3行3列的数表D，

　　　　　　a₁₁     a₁₂     a₁₃

　　　　　　a₂₁     a₂₂     a₂₃

　　　　　　a₃₁     a₃₂     a₃₃

　　　　记det(D) = a₁₁a₂₂a₃₃ + a₁₂a₂₃a₃₁ + a₁₃a₂₁a₃₂ - a₁₃a₂₂a₃₁ - a₁₂a₂₁a₃₃ - a₁₁a₂₃a₃₂ ，这个式子，就叫做数表D所确定的三阶行列式

 　　•对角线法则：

　　　　对于二阶和三阶行列式，可以使用一个比较简单的方法求得行列式的值。我们将所有向右下的线叫做方阵的主对角线，向右下的线叫做副对角线。行列式的值就是主对角线所有数之积减去副对角线所有数之积。（感性理解就好，结合上面的求法）

 

$2 全排列和对换：

　　在讲n阶行列式前，我们需要知道一些全排列和对换的知识

　　•排列：

　　　　将n个不同的数排成一列，叫做这n个数的排列（有时也叫全排列）

　　　　n个不同元素全排列的个数可以用n的阶乘来表示，证明如下：

　　　　　　对于n个不同的元素，考虑第一个位置的元素的可能性，得知有n种；第二个位置的元素的可能性有n - 1种，…………，第n个位置的元素的可能性只有1种，由乘法原理得，d个不同的元素全排列个数为n！

　　　　对于n个不同的元素，规定一个标准次序，可规定n个数从小到大为标准次序，这样，我们就可以引出“逆序数”的定义

　　•逆序数：

　　　　在n个元素的任意排列中，当某一个元素的先后次序与标准次序不同时，就说它构成一个逆序。一个排列中所有的逆序的总数叫做这个排列的逆序数；

举个栗子：求 21354 的逆序数

　　　　　　解：把这5个数一个一个的看

　　　　　　　　2之前没有比它大的数，所以2的逆序为0；

　　　　　　　　1之前有1个数（2）比它大，所以1的逆序为1；

　　　　　　　　3之前没有比它大的数，所以3的逆序为0；

　　　　　　　　5之前没有比它大的数，所以5的逆序为0；

　　　　　　　　4之前只有5比它大，所以4的逆序为1；　　　　　　      　

　　　　　　综上所述， 21354 的逆序数为0 + 1 + 0 + 0 + 1 = 2；

　　•奇排列与偶排列：

　　　　根据逆序数的定义，我们可以求得逆序数，那么根据逆序数的数值，我们可以将排列分为奇排列和偶排列（定义应该不用我多说）

　　　　定义（检查一下和你预想的是否一样）： 逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列

　　•对换：

 　　　 定义：在排列中，将任意两个元素对调，其它元素不动，这种操作叫做对换；将相邻的两个元素对换，叫做相邻对换。

　　　　定理：一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性（感性理解，不需要繁琐的证明）

　　　　推论：奇排列对换成标准排列的对换次数为奇数，偶排列对换成标准排列的对换次数为偶数（同上）

 

$3 n阶行列式的定义：

　　•引子（以三阶行列式为例）：

　　　　再写一遍三阶行列式的式子

　　　　　|　a₁₁     a₁₂     a_13　|

　　　　　|　a₂₁     a₂₂     a_23　|

　　　　　|　a₃₁     a₃₂     a_33　|

　　　　det(D) = a₁₁a₂₂a₃₃ + a₁₂a₂₃a₃₁ + a₁₃a₂₁a₃₂ - a₁₃a₂₂a₃₁ - a₁₂a₂₁a₃₃ - a₁₁a₂₃a₃₂ 

　　　　观察可得，det(D)右边的每一项都是三个数相乘，且这三个数都不在同一行内，我们可以把正负号略去，那么这9项就都可以写成a_1p1a_2p2a_3p3的形式。其中的p₁p₂p₃表示的是1,2,3这三个数的排列，这样的种数有3！ = 3 * 2 = 6种，对应着det(D)右面有6项。

　　　　再来考虑正负号，带正号的三项列标排列为 1,2,3 ， 2,3,1 ， 3,1,2；（都是偶排列）

　　　　　　　　　　　　带负号的三项列标排列为 3,2,1 ， 2,1,3 ， 1,3,2；（都是奇排列）

　　　　因此各项的符号可以写成(-1)^t，t为列标排列的逆序数。

　　　　总之，三阶行列式可以写成det(D) = ∑(-1)^ta_1p1a_2p2a_3p3

　　•n阶行列式

　　　　定义：有n²个数，排成n行n列的数表D

　　　　　　a₁₁     a₁₂     a₁₃     ………………     a_1n

　　　　　　a₂₁     a₂₂     a₂₃     ………………     a_2n

　　　　　　　　　　　　……………

　　　　　　a_n1     a_n2     a_n3     ………………     a_nn

　　　　根据引子的结论，可以推知det(D) = ∑(-1)^ta_1p1a_2p2a_3p3…………a_npn 

$4 行列式的性质

　　•几个关于行列式的定义

　　　　定义（1）：记

　　　　　　

　　　|a₁₁  a₁₂  a₁₃  …………  a_1n|　　　　　　　　　　 |a₁₁  a₂₁  a₃₁  …………  a_n1|

　　　|a₂₁  a₂₂  a₂₃  …………  a_2n|　　　　　　　　　　 |a₁₂  a₂₂  a₃₂  …………  a_n2|

　D = |　　   ……………　　　    |　　,　　　　D^T  =   |　　　　………………       | 

　　　|a_n1  a_n2  a_n3  …………  a_nn|　　　　　　　　　　 |a_1n  a_2n  a_3n  …………  a_nn|

　　　　行列式D^T称为行列式的转置行列式；

　　　　定义（2）：用r_i表示行列式的第i行，用c_i表示行列式的第i列，对换i，j两行可写作r_i↔r_j；对换i，j两列可写作c_i↔c_j；

　　•行列式的性质

　　　　性质（1）：行列式与它的转置行列式相等

　　　　证明（伪证，因为正确证法过于麻烦，写伪证是为了便于理解）：既然行列式的计算是在每行选取一个数，每列也选取一个数，那么就可以得到，即使转置之后，行列式的的因子还是原来的几项。因为原来的行标变成了现在的列标，所以每一个转置行列式的因子所对应的列标在原行列式中都能找到，得证。（这种证法没有说明转置行列式因子的正负与原行列式对应因子的正负一致，所以是伪证）

　　　　性质（2）：对换行列式的两行（列），行列式变号

　　　　证明（这次是感性理解版的证明）：如果我们将两行交换，就会得到一个与原先排列奇偶性不同的排列，那么所有的因子都会变号，行列式也会变号

　　　　推论：若行列式两行（列）完全相同，则此行列式为0

　　　　证明：对换这两行（列），得到D = -D，解得D = 0，得证

　　　　性质（3）：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以一个数k，等于用k乘以此行列式

　　　　证明：假设行列式的第i行的所有元素同时乘以一个数k，由行列式的定义可得：

　　　　变换前 = ∑(-1)^ta_1p1a_2p2a_3p3……( ka_ipi )……a_npn = k∑(-1)^ta_1p1a_2p2a_3p3……a_ipi……a_npn = 变换后，得证

　　　　推论：行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面

　　　　由性质（3）及其推论，我们定义：

　　　　定义（3）：第i行（或列）乘以k，记作r_i * k（或c_i * k）；

　　　　　　　　　  第i行（或列）提出公因子k，记作r_i ÷ k（或c_i ÷ k）；

　　　　

　　　　性质（4）：行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零

　　　　

　　　　性质（5）：若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，例如第i行的元素都是两数之和：　　　|    a₁₁         a₁₂         a₁₃     …………     a_1n    |

　　　　　|                    …………………　                　 |

　　　D = |   a_i1+a_i1'   a_i2+a_i2^'     a_i3+a_i3^'  …………    a_in+a_in^' |

　　　　　|   　　　　　     　…………………　　　        　　　 |

　　　　　|    a_n1          a_n2          a_n3     …………     a_nn    |     

则D等于下面两个行列式的和：       

　　　    | a₁₁  a₁₂  a₁₃    …………   a_1n |    | a₁₁  a₁₂  a₁₃  …………  a_1n  | 

　　　　　|         …………………      　|    |      ……………………    　 |

      D = | a_i1  a_i2  a_i3     …………  a_in |  + | a_i1^' a_i2^' a_i3^'  …………  a_in^' |

　　　　　|         …………………      　|　  |       …………………　    　| 

　　　　　| a_n1  a_n2  a_n3     ………… a_nn |    |  a_n1  a_n2 a_n3   …………  a_nn |

　　　　

　　　　性质（6）：把行列式的某一行（列）的各个元素乘以同一个数然后加到另一行（列）对应的元素上去，行列式不变

　　　　（性质（4）到性质（6）就不必证明了，根据前三个性质和行列式的定义即可轻松地求出，毕竟大家都是精英嘛）

　　•特殊的行列式：

　　　　三角行列式定义：

　　　　　　上三角行列式：主对角线上元素不为0，且主对角线下方的元素全为0的行列式；

　　　　　　下三角行列式：主对角线上元素不为0，且主对角线上方的元素全为0的行列式；

 

　　　　三角行列式的求值：无论是上三角行列式，还是下三角行列式，它们的值都是主对角线上元素的乘积；

 

　　　　对角行列式的定义：主对角线以上或以下的数都为0的行列式叫做对角行列式；

　　　　

　　　　对角行列式的求值：对角行列式的值为主对角线上各元素的乘积；

 

　　　　尝试证明一下以上行列式求值问题（代数式就不打了，接下来的内容是文字说明）：

　　　　通过观察可以发现，无论是三角行列式，还是对角行列式，按照行列式的定义，都会化为一堆数乘以0（有很多项）加上主对角线元素的乘积（只有一项）。那么除主对角线元素乘积的那一项之外，其它均为0，所以这些行列式的值为主对角线元素之积

　　　　以上结论的作用：结合行列式的性质，我们可以将任意一个行列式化为一个三角行列式，这样一来，行列式的值就好求啦！

$5 行列式按行（列）展开

接下来就是本篇最后的部分，也是最秀的操作（虽然我写了三个晚上才写到）——行列式按行展开，千万不要眨眼啊！！！

　　•余子式与代数余子式：

　　　　余子式：在n阶行列式中，把（i，j）元a_ij所在的第i行和第j列划去后，留下来的n-1阶行列式叫做（i，j）元a_ij的余子式，记作M_ij；

　　　　代数余子式：记A_ij = （-1）i+jMij，Aij叫做（i，j）元aij的代数余子式（余子式和代数余子式的区别就是是否有正负号的判断）

　　•一个引理：

　　　　一个n阶行列式，如果其中的第i行所有元素除（i，j）元a_ij以外都为0，那么这个行列式等于a_ij与它的代数余子式的乘积，即D = a_ijA_ij

　　　　证明可以参考博客，这是一个专门证明这个引理的博客。

　　•最后一个定理！　　

　　　　行列式按行（列）展开法则：行列式等于它的任意一行（列）的各元素与其相对应的代数余子式的乘积之和

　　•用途：

　　　　根据3、4、5三部分，我们可以比较快速的计算行列式的值，其实，行列式的计算是多姿多彩的，还需要我们继续探索……