BZOJ4893 项链分赃

第一次出题233

先给出结论，切的刀数一定小于等于颜色个数。

所以暴力判掉1和2，剩下输出3就行了。

你肯定会问“为什么？！”

让我尝试证明一下这个东西。

--------------------------------以下开始证（瞎）明（扯）环节--------------------------------

假设地球是一个完美的球体，而且气温和气压的变化是连续的，那么地球上一定存在一对相对的点气温和气压都相等。

证明：

假设你和你的女朋友都绕赤道走了半圈，且时刻保持你们两个所处的位置相对。

我们把赤道上气温气压的图像画出来，大概是这个样子的：

你初始在A，你女朋友初始在B，最终你们两个交换位置，那么你和你的女朋友一定存在某个时刻气压相等，我们把气压相等的那两个点拿出来。

把所有这样类似赤道的弧都这么做得到两点，并把这两点都画出来，大概是这个样子：

你初始在A，走的路线为绿线，你女朋友初始在B，走的路线为红线，走的过程时刻保持气压相等，最终交换位置，那么中途肯定存在一个点（点C），使得你和你女朋友气温气压都相等。

用数学语言描述一下就是，存在一个点（x,y,z)，使得f(x,y,z)=f(-x,-y,-z).

那么这个地球问题就证（扯）完了。

到现在你可能觉得我在扯淡，所以这跟这道题有什么关系呢。

我们先把这个项链从离散变为连续的，即如果以前是这样：

那么我们把它变成这样：

可以发现如果从中间切开，不会影响答案。

假如只有两个颜色，设整个项链为1，你切两刀分为了三段，长度分别为$x^2$,$y^2$,$z^2$，那么满足$x^2+y^2+z^2=1$，它对应地球上的一个点(x,y,z)，x,y,z的两个根分别对应分给海盗1和2。

比如$x=frac{sqrt{2}}2$,$y=-frac{sqrt{3}}3$,$z=frac{sqrt{6}}6$，x,z是正数就意味着给海盗1，y是负数就意味着给海盗2.

那么又因为变化是连续的，所以必然存在f(x,y,z)=f(-x,-y,-z)，这表明两个海盗交换后没有变，也就是每种颜色数目都相等。

当颜色数更多的时候，就相当于k维球做这些事情，方法基本相同。

如果你能看懂我丑陋的证明，应该会恍然大悟，拓扑学就是这么的美妙。

#include <cstdio>
#include <map>
using namespace std;
#define mk(a,b) make_pair(a,b)

int n,s[3],t[3],a[100005];
map<pair<int,pair<int,int> >,int> mp;

int main() {
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]),s[a[i]]++;
    for(int i=1;i<=n;i++) {
        t[a[i]]++;
        if(s[0]==t[0]*2&&s[1]==t[1]*2&&s[2]==t[2]*2) return puts("1"),0;
    }
    t[0]=t[1]=t[2]=0;
    for(int i=1;i<=n;i++) {
        t[a[i]]++;
        if(mp[mk(t[0]-s[0]/2,mk(t[1]-s[1]/2,t[2]-s[2]/2))]) return puts("2"),0;
        mp[mk(t[0],mk(t[1],t[2]))]=1;
    }
    return puts("3"),0;
}