BZOJ4926 皮皮妖的递推

第二次乱出题。
为了方便，以m=2为例，把原式变一下形，得f(i)+f(f(i-1))=i
我们先无视掉那个-1，我们发现：诶，这个东西好像斐波那契数列。
具体地，我们用f(n)表示把n用斐波那契数列进行拆分后，每一项的前一项的和。
例：20=13+5+2，f(20)=8+3+1
我们惊奇的发现现在已经可以满足f(i)+f(f(i))=i这个式子了。
但是现在有个-1，怎么办呢，其实很简单，我们定义斐波那契数列第0项为1即可。
证明：设$g_0=g_1=g_2=1，g_i=g_{i-1}+g_{i-2}，n=sum_{i=1}^kg_{a_i}$
我们考虑n-1的形式。
1.
n-1与n的前k-1项一定相同，所以在前k-1项满足这个式子。
2.
当n的第k项为1时，n-1没有第k项，此时1+0=1，满足这个式子。
3.
否则当n的第k项不为1时，你会发现$f(f(g_{a_k}-1))=g_{a_{k-2}}$
这个东西不好说明，举个例子
$g_{a_k}=34=21+8+3+1+1$
$g_{a_k}-1=21+8+3+1$
$f(f(g_{a_k}))=8+3+1+1=13=g_{a_{k-2}}$
这就是为什么我要把第0项设成1的原因，所以第k项也满足。
证毕。

当m更大时，只需把g的递推式改为$g_i=g_{i-1}+g_{i-m}$即可。

#include <cstdio>

int m,t;
long long n,a1,f[5000005];

int main() {
    scanf("%lld%d",&n,&m);
    for(int i=0;i<=m;i++) f[i]=1;
    for(int i=m+1;;i++) {
        f[i]=f[i-1]+f[i-m];
        if(f[i]>n) {t=i-1; break;}
    }
    for(int i=t;n;i--) if(f[i]<=n) n-=f[i],a1+=f[i-1];
    printf("%lld",a1);
    return 0;
}