欧拉函数

给定整数n，那么n的唯一的分解式如下

欧拉函数的定义：

phi(n) 为1->n中与n互素的数的个数。与n互素，就与所有n的所有素数因子pi互素， 与pi互素和不是pi的倍数是等价的

那么可以用容斥定理来求解phi(n)，从n个数中减去是1个素因子倍数的个数，然后加上同时是2个素因子倍数的个数，然后减去同时是3个素数因子的倍数的个数

n/pi 为有多少个数是pi的倍数

那么就得到一个公式

        |s|代表的是集合中元素的个数

对于的任意子集s，不与其中任何一个元素互素的个数是

比如:

我们将上述的公式变形一下得到

我们等价呢，因为这个式子的展开式的每一项是1或者，那么展开之后，和原来推导过程的式子是一样的

那么可以得到代码

int euler(int n)
{
    int m = sqrt(n) + 0.5;
    int ans = n;
    for (int i = 2; i <= m; ++i)
    if (n%i == 0)
    {
        ans = ans / i * (i - 1);
        while (n%i == 0) n /= i;
    }
    if (n > 1) ans = ans / n *(n - 1);
    return ans;
}

如果要求出1->n所有数字的欧拉函数值，那么可以用类似筛法的方法得到

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <stdlib.h>
#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <queue>
#include <stack>
#include <vector>
#include <map>
#include <set>
#include <string>
#include <math.h>
using namespace std;
#pragma warning(disable:4996)
typedef long long LL;                   
const int INF = 1<<30;
/*

*/
const int N = 1000000 + 10;
int phi[N];
void phiTable(int n, int *phi)
{
    int i, j;
    for (i = 2; i <= n; ++i) phi[i] = 0;
    phi[0] = 0;
    phi[1] = 1;
    for (i = 2; i <= n; ++i)
    {
        if (!phi[i])//素数肯定没有被筛过
        for (j = i; j <= n; j += i)
        {
            if (!phi[j]) phi[j] = j;
            phi[j] = phi[j] / i * (i - 1);//因为i是素数，即i是j的素数因子
        }
    }
}


int main()
{
    
    phiTable(100, phi);
    int i;
    for (i = 2; i <= 100; ++i)
        printf("%d ", phi[i]);
    return 0;
}