如果，上面的图，如果用dij算法，那么dist[4] = 4, 是得不到正确的结果的， 这个因为dist[3]先被确定是最小，然后用来更新dist[4]
但是存在负权，使得dist[3]更小，但是我们已经把结点3标记为不可用了（vis[3] = true)， 所以存在错误
如何使得使得结点3可用呢？ 我们把判断的条件给改一下，如果结点u出队列之后，其权值为dist[u] 来得小， 那么就可以用它来更新其他的定点
这样子，每个结点都可以多次入队列， 使得dij可以处理负权
1 int dij(int x, int y, int n) 2 { 3 for (int i = 1; i <= n; ++i) 4 dist[i] = INF; 5 priority_queue<Edge> q; 6 Edge cur, tmp; 7 cur.dist = dist[x] = 0; 8 cur.v = x; 9 q.push(cur); 10 while (!q.empty()) 11 { 12 cur = q.top(); q.pop(); 13 int u = cur.v; 14 if (dist[u] < cur.dist)//如果cur.dist < dist[u]， 那么可以继续更新其他顶点， 代替了条件vis[u] 15 continue; 16 for (int i = 0; i < g[u].size(); ++i) 17 { 18 int v = g[u][i].v; 19 if (dist[v] > dist[u] + g[u][i].dist) 20 { 21 tmp.dist = dist[v] = dist[u]+ g[u][i].dist; 22 tmp.v = v; 23 q.push(tmp); 24 } 25 } 26 } 27 return dist[y]; 28 }
bellaman__ford算法的无用操作
void relax(int u, int v,double weight) { if(dist[v] > dist[u] + weight) dist[v] = dist[u] + weight; } bool bellman_ford(int n, int m) { int i,j; for(i=0; i<n-1; ++i)//n-1循环 for(j=0; j<m; ++j)//枚举所有的边去松弛最短路径 { relax(g[j].u,g[j].v,g[j].weight); } bool flag = false; for(i=0; i<m; ++i) if(dist[g[i].v] > dist[g[i].u] + g[i].weight) { flag = true; break; } return flag; }
如上述代码所示， 我们枚举每条边， 看看能不能松弛最短路径， 但这么做，其实做了很多的无用功， 比如说如果 dist[g[j]] 没有被松弛过或者松弛不成功，
那么relax(g[j].u,g[j].v,g[j].weight) 做的就是无用功
对于这个， 我们可以用队列来优化bellman算法， （上交的大神发明的，时间复杂度是O(ke)，k是常数，虽然后来被证实它证明的k是常数是错误的）
如果结点u被更新过了， 那么才可以用它来更新它所指向的定点
int spfa(int x, int y, int n) { for (int i = 1; i <= n; ++i) dist[i] = INF; queue<int> q; q.push(x); dist[x] = 0; while (!q.empty()) { int u = q.front(); q.pop(); vis[u] = false; for (int i = 0; i < g[u].size(); ++i) { int v = g[u][i].v; if (dist[v] > dist[u] + g[u][i].dist) { dist[v] = dist[u] + g[u][i].dist;//能更新就更新 if (!vis[v])//如果结点在队里里面，就不用重复入队了 { q.push(v); vis[v] = true; } } } } return dist[y]; }