算法导论笔记——第十~十一章 数据结构（一） 散列

第十章 基本数据结构

栈：可由数组表示

队列：可由数组表示

指针和对象：可由多数组表示。可用栈表示free list

有根数：

　　二叉树：左右孩子

　　分支无限制：左孩子右兄弟表示法

第十一章 散列表

数组：为每个元素保留一个位置

散列表：用于实际存储关键字比全部可能关键字少很多时，比如字典操作

解决散列冲突：链接法，开放寻址法

11.2 散列表

用链表法，在简单均匀散列的假设下，一次成功或不成功的查找所需要的平均时间为Θ(1+α)，α为load factor。

11.3 散列函数

好的散列函数应（近似地）满足简单均匀假设：每个关键字都被等肯能地散列到m个槽位中的任何一个，并与其它关键字已散列到哪个槽位无关。

　　利用关键字分布的有用信息。如“pt”，“pts”不冲突

　　一种好的方法导出的散列值，在某种程度上应独立于数据可能存在的任何模式。如除法散列

　　散列函数的某些应用可能会要求比简单均匀散列更强的性质，如全域散列可使相似关键字有截然不同散列值。

全域散列函数：一组函数H称为全域的，如果对每一对不同的关键字k，l属于U，满足h(k)=h(l)的散列函数个数至多为[H]/m，m为槽位数。

　　如：p为足够大素数，使得每一关键字k都在[0，p-1]，Z_p={0,1,...,p-1},Z_p*={1,2,...,p-1},

　　　　h_ab(k)=((ak+b)mod p)mod m

　　　　H_pm={h_ab: a属于Z_p*，b属于Z_p}

 　　11.4 开放寻址法

　　所有元素都在散列表中，装载因子不超过1。探查顺序是0~m-1的一个排列，依赖于h(k,i)，i为探查号。不使用指针，节省空间。

　　但有关键字删除时即使设置标志deleted，查找时间也不再依赖于a。这种情况更适合用链接法来解决冲突。

　　均匀散列：每个关键字的探查序列等可能地为0~m-1的m！种排列的任一种。难实现，只能近似（如双重散列）。

　　三种技术：线性探查，二次探查，双重探查。

　　线性探查：h(k,i)=（h'(k)+i）mod m。连续被占用时间越多，查找时间越长。

　　二次探查：h(k,i)=（h'(k)+c₁i+c₂i²）mod m。初始位置决定探查序列。

　　双重探查：h(k,i)=（h₁(k)+ih₂(k)）mod m。

　　11.5 完全散列

　　散列有良好的平均性能。

　　特别地，当关键值是静态（存入后不变，如程序的保留字）时，完全散列能提供出色的最坏情况性能O(1)。

　　通过两级的散列来设计完全散列方案，在每级上都使用全域散列。二次散列表不用链表，通过精心选择h_i，确保在第二级上不发生冲突。

　　定理11.9： 如果从一个全域散列函数类中随机算出散列函数h，将n个关键字存储在一个大小为m=n²的散列表中，那么表中出现冲突的概率小于1/2.

　　定理11.10： 如果从一个全域散列函数类中随机算出散列函数h，用它将n个关键字存储在一个大小为m=n的散列表中，则有

　　　　E[Σn_j²]<2n　　n_j为散列到槽j的关键值数。

　　推论：如果二次散列大小为m_j=n_j²，则存储所有二次散列表所需的存储总量的期望值小于2n。

　　推论2：存储所有二次散列表的存储总量等于或大于4n的概率小于1/2。