《算法导论》CLRS算法C++实现（八）P108 最大值和最小值

第九章 中位数和顺序统计学

9.1 最小值和最大值

在一个有n个元素的集合中，要做多少次比较才能确定其最小元素呢？可以很容易地给出n-1次比较这个上界：依次查看集合中的每个元素，并记录比较过程中的最小元素。同样道理，最大值也可以通过n-1次比较找出来。这个算法比较简单，我就没有写程序实现了。

在某些应用中，必须找出n个元素集合中的最大值和最小值。按照上面的思路，可以对目标数组进行两次扫描，便可独立得到最小值和最大值。但这是不是最优的算法呢？事实上，至多3floor(n/2)次比较就足以同时找出最大值和最小值。做法是记录比较过程中遇到的最小值和最大值。并不是将每一个输入元素与当前的最大值和最小值分别进行比较，而是成对地处理元素。先将一对输入元素互相比较，然后把较小值与当前最小值进行比较，最大值与当前最大值进行比较，这样每两个元素需要进行三次比较，而不是四次。

C++语言实现

#include <iostream>

using namespace std;

struct XY
{
    int max;
    int min;
};

XY returnXY(int x, int y)
{
    XY maxminXY;
    if(x > y)
    {
        maxminXY.max = x;
        maxminXY.min = y;
    }
    else
    {
        maxminXY.max = y;
        maxminXY.min = x;
    }
    return maxminXY;
}

XY maxmin(int* arr, int length)
{
    XY extremum;
    XY temp;
    extremum = returnXY(arr[0], arr[1]);
    if(length % 2 == 0)
    {
        for(int i = 2; i < length; i += 2)
        {
            temp = returnXY(arr[i], arr[i + 1]);
            if(extremum.max < temp.max)
                extremum.max = temp.max;
            if(extremum.min > temp.min)
                extremum.min = temp.min;
        }
    }
    else
    {
        for(int i = 2; i < length - 1; i += 2)
        {
            temp = returnXY(arr[i], arr[i + 1]);
            if(extremum.max < temp.max)
                extremum.max = temp.max;
            if(extremum.min > temp.min)
                extremum.min = temp.min;
        }
        if(arr[length - 1] > extremum.max)
            extremum.max = arr[length - 1];
        else if(arr[length - 1] < extremum.min)
            extremum.min = arr[length - 1];
    }
    return extremum;
}

int main()
{
    XY maxminXY;
    int a[] = {22, 34, 95, 87, 56, 980, 12, 48};
    maxminXY = maxmin(a, 8);
    cout << "Max = " << maxminXY.max << " " << "Min = " << maxminXY.min << endl;
    return 0;
}

在程序中，我用了一个结构体XY用于同时存储最大值和最小值。函数XY returnXY(int x, int y)是获取每对元素的最大值和最小值的函数。函数XY maxmin(int* arr, int length)是实现同时返回长度为length的数组的最大值和最小值的程序。

习题：在最坏情况下，利用n+ceil(lgn)-2次比较，即可找到n个元素中的第2小元素。（提示：同时找出最小元素）

对数组arr[1…n] 中元素成对的做比较，每次比较后将较小的数拿出，形成的数组再继续这样处理，直到剩下最后的一个，就是数组中最小的那个。在这个过程中，一共进行了n-1 次比较，树根即为最小的元素。而第二小的元素一定是在这个过程中与根节点进行过比较的元素，因为只有最小的元素可以击败次小的元素。这样的数最多有(lgn)个，在这些数中找到最小的元素需要进行ceil(lgn)-1次比较。因此总共所需的比较次数为n+ceil(lgn)-2次。