《算法导论》CLRS算法C++实现（九）P109 选择数组中第i小（大）的数 顺序统计量

第九章 中位数和顺序统计学

9.2 以期望线性时间做选择

上一讲是找出最小值，同时找出最大值最小值，以及找出次小值的问题。随意选择数组中第i小（大）的元素看起来要比找最小值的简单选择问题要复杂一些。但是令人惊奇的是，两种问题的渐近运行时间却是相同的，都是O(n)。算法导论上介绍了一种用来解决选择问题的分治算法，即RANDOMIZED-SELECT算法。本算法以快速排序算法的分割算法为基础，如同在快速排序中一样，此算法的思想也是对输入数组进行递归划分。但与快速排序不同的是，快速排序会递归处理划分的两边，而RANDOMIZED-SELECT只处理划分的某一边。这一差异在算法的分析中就体现出来了：快速排序的期望运行时间是O(nlgn)。而RANDOMIZED-SELECT的期望运行时间为O(n)。下面是RANDOMIZED-SELECT算法：

RANDOMIZED-SELECT(A, p, r, i)  P109

if p = r
    then return A[p]
q ← RANDOMIZED-PARTITION(A, p, r)
k ← q - p + 1
if i = k
    then return A[q]
elseif i < k
    then return RANDOMIZED-SELECT(A, p, q - 1, i)
else return RANDOMIZED-SELECT(A, q + 1, r, i - k)

RANDOMIZED-SELECT利用了RANDOMIZED-PARTITION程序。所以，本算法也是一个随机算法，因为它的行为部分地由随机数生成器的输出来决定。本算法返回A[p..r]中的第i小的元素。

算法第三行的RANDOMIZED-PARTITION执行之后，数组A[p..r]被划分为两个子数组A[p..q-1]和A[q+1..r]，使得A[p..q-1]中的每个元素都小于或等于A[q]，A[q+1..r]中的每个元素都大于A[q]。

第四行计算A[p..r]的元素个数k，即处于低划分区的元素的个数加上一个主元素。然后第五行检查A[q]是不是第i小的元素。如果是，就返回A[q]。否则，算法要确定第i小的元素落在两个子数组A[p..q-1]和A[q+1..r]中的哪一个之中。如果i<k，则在低区，如i>k，则在高区。然后递归选择。

算法的最坏运行时间为O(n2)，即使是要选择最小元素。

《编程之美》中的2.3 寻找发贴“水王”就可以用顺序统计量来解答。

C++代码

#include <iostream>
#include <ctime>
#include <cstdlib>

using namespace std;

void swap(int* x, int* y)
{
    int temp;
    temp = *x;
    *x = *y;
    *y = temp;
}

inline int random(int x, int y)
{
    srand((unsigned)time(0));
    int ran_num = rand() % (y - x) + x;
    return ran_num;
}

int partition(int* arr, int p, int r)
{
    int x = arr[r];
    int i = p - 1;
    for(int j = p; j < r; j++)
    {
        if (arr[j] <= x)
        {
            i++;
            swap(arr[i], arr[j]);
        }
    }
    swap(arr[i + 1], arr[r]);
    return ++i;
}

int randomizedpartition(int* arr, int p, int r)
{
    int i = random(p, r);
    swap(arr[r], arr[i]);
    return partition(arr, p, r);
}

int randomizedSelect(int* arr, int p, int r, int i)
{
    if(p == r)
    {
        return arr[p];
    }
    int q = randomizedpartition(arr, p, r);
    int k = q - p + 1;
    if(i == k)
    {
        return arr[q];
    }
    else if(i < k)
    {
        return randomizedSelect(arr, p, q - 1, i);
    }
    else
        return randomizedSelect(arr, q + 1, r, i - k);
}

int main()
{
    int arr[] = {1, 3, 5, 23, 64, 7, 23, 6, 34, 98, 100, 9};
    int i = randomizedSelect(arr, 0, 11, 4);
    cout << i << endl;
    return 0;
}