题目
题目大意
给你一个有向图，每个点开始有一定的水量（可能为负数），可以通过边流到其它点。
每条边的流量是有上下界的。
每个点的水量可以增加或减少（从外界补充或泄出到外界），但是需要费用，和增加（减少）流量呈正比例函数关系。
每条边的流量也需要费用，费用和流量呈二次函数关系（常数项为(0)）。
问将所有水流完的最小花费。
思考历程
这显然是一道上下界最小费用可行流嘛！
有源有汇的上下界可行流的做法：建立超级源(ss)和超级汇(tt)（和(S)、(T)），对于(u)到(v)的容量为([low,up])的边。这时从(ss)到(v)连一条容量为(low)的边，(u)到(tt)连一条容量为(low)的边，(u)到(v)连一条(up-low)的边。并且要从(T)到(S)连一条容量为无限大的边。
具体原因不再赘述。
对于每个点的初始水量，如果为正数，就从(S)向它连一条容量上下界都为水量的边，费用为(0)。
如果为负数，就从(T)向它连一条容量上下界都为水量的绝对值的边，费用为(0)。
对于每个点和外界之间的关系，可以从(S)到它连一条上限为无限大的边，它到(T)连一条上限为无限大的边，费用由题目给定。
可是最麻烦的来了，这个二次函数该怎么处理呢？
想不出来……
最终交了个错误的程序上去，成功爆0……
正解
前面的都差不多了，就只有二次函数的那一部分。
二次函数为(y=ax^2+bx)，直接搞似乎不行，那就试着将它们拆开，变成(a+b)、(3a+b)、(5a+b)……这些边。每条边的容量为(1)。
具体来说，当(x)变成(x+1)时，费用就会新增(a(2x+1)+b)
由于我们跑的是最小费用可行流，一定会先跑更小的边。所以这种方法是不可能WA的。
但是如果直接这样拆，边会很多啊！想一想，要拆成最多(100)条边……
于是就有了动态加边大法！
一开始只加入(a+b)的边，如果这条边被流满，那就加一条(3a+b)的边，以此类推……
当然，由于上下界的问题，一开始加的并不是(a+b)。先将最低费用(a*low^2+b*low)加入答案。为了使费用不重复计算，(ss)到(v)和(u)到(tt)的边就不需要费用了，只是中间那条(u)到(v)的边初始费用变成了(a(2low+1)+b)。
至此整道题就解决了。
代码
独爱zkw费用流……
using namespace std;
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cassert>
#define min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))
#define INF 1000000000
#define N 1000
int n,m;
struct EDGE{
int to,c,w;
EDGE *las;
int sp;
} e[100000];
int ne;
EDGE *last[N];
#define rev(ei) (e+(int((ei)-e)^1))
inline void link(int u,int v,int c,int w,int sp=0){
e[ne]={v,c,w,last[u],sp};
last[u]=e+ne++;
e[ne]={u,0,-w,last[v],0};
last[v]=e+ne++;
}
int nsp;
int mx[100000],ad[100000];
int ex[100000];
inline void link2(int u,int v,int low,int up,int a,int b){
nsp++;
mx[nsp]=up,ad[nsp]=a*2,ex[nsp]=low+1;
e[ne]={v,1,a*(2*low+1)+b,last[u],nsp};
last[u]=e+ne++;
e[ne]={u,0,-(a*(2*low+1)+b),last[v],0};
last[v]=e+ne++;
}
int s,t,ss,tt;
int mincost;
int dis[N];
int vis[N],BZ;
int dfs(int x,int s){
if (x==tt){
mincost+=dis[ss]*s;
return s;
}
int have=s;
vis[x]=BZ;
for (EDGE *ei=last[x];ei;ei=ei->las)
if (vis[ei->to]!=BZ && ei->c && dis[x]==dis[ei->to]+ei->w){
int t=dfs(ei->to,min(have,ei->c));
ei->c-=t,rev(ei)->c+=t,have-=t;
if (ei->sp && ex[ei->sp]<mx[ei->sp]){
link(x,ei->to,1,ei->w+ad[ei->sp],ei->sp);
ex[ei->sp]++;
ei->sp=0;
}
if (!have)
return s;
}
return s-have;
}
inline bool change(){
int d=INF;
for (int i=1;i<=n+4;++i)
if (vis[i]==BZ)
for (EDGE *ei=last[i];ei;ei=ei->las)
if (vis[ei->to]!=BZ && ei->c)
d=min(d,dis[ei->to]+ei->w-dis[i]);
if (d==INF)
return 0;
for (int i=1;i<=n+4;++i)
if (vis[i]==BZ)
dis[i]+=d;
return 1;
}
inline void zkw(){
do
do
BZ++;
while (dfs(ss,INF));
while (change());
}
int main(){
scanf("%d%d",&n,&m);
s=n+1,t=n+2,ss=n+3,tt=n+4;
for (int i=1;i<=n;++i){
int left,in,out;
scanf("%d%d%d",&left,&in,&out);
if (left>0)
link(ss,i,left,0),link(s,tt,left,0);
else if (left<0)
link(ss,t,-left,0),link(i,tt,-left,0);
link(s,i,INF,in);
link(i,t,INF,out);
}
link(t,s,INF,0);
for (int i=1;i<=m;++i){
int u,v,a,b,low,up;
scanf("%d%d%d%d%d%d",&u,&v,&a,&b,&low,&up);
mincost+=a*low*low+b*low;
if (a){
if (low)
link(ss,v,low,0),link(u,tt,low,0);
if (up-low)
link2(u,v,low,up,a,b);
}
else{
if (low)
link(ss,v,low,b),link(u,tt,low,0);
if (up-low)
link(u,v,up-low,b);
}
}
zkw();
printf("%d
",mincost);
return 0;
}
总结
题目的难点主要在拆边，事实上，这似乎有点套路啊……
所以当直接做不方便时，可以试着作差，然后就出来一些东西……