题目
题目大意
求区间([A,B])有多少个数是“完美的”。
一个数是“完美的”，当且仅当这个数的各位能分成两个集合，使得两个集合中数字的和相等。
(Bleq 10^9)
思考历程
其实思考这题的时候已经没有什么时间了。
但我还是努力地去想正解。
看到的第一眼就会想到数位DP，然后脑中就弹出了一个DP状态。
很快就被自己证伪了，因为显然有重复。
想其它做法，却一直搞不出来。
看时间真的不多了，于是就去打暴力。
思想特别简单，枚举([A,B])中的数，然后判断它们是否可行。
最容易想到的是背包，但是我认为背包会爆炸，于是我打了折半搜索。
然后又搞了各种优化……
最终成功水到了50分。
水法
大把人是打表过的，我真是醉了……
50分的(10^7)数据范围其实有另一种更简单的方法：还是背包，但由于背包的值为(0)或(1)，范围就在([0,45])，就可以用一个long long将DP数组压起来，转移的时候直接位运算搞定……
YMQ说，数位DP一般都会开到(10^{18})，这题只开到(10^9)，不是可以打表吗？
接下来介绍一下分段打表大法：
将([1,10^6x])（其中(1leq xleq 10^3)）的答案全部跑出来。
这样，在询问中一大段的区间就不用处理了，只需要暴力处理剩下的(10^6)个数……
时间还快得很……
正解
这题用传统的数位DP似乎不太好做，尤其是判断重复，更加繁琐。
于是我们就试着换一个角度，逃避重复的问题。
可以枚举组成数字的各位数分别有哪些。如果这些数能组成“完美的数”，就进行排列，将范围之内的数统计如答案。
这样显然就不用怕重复了，因为如果是平常的做法，各位数可能有多种组成和相等的两个集合的方法。但是这样不需要管有多少中方法，只要它是成功的就对了。
有重复元素的排列有个公式：(frac{(sum num_i)!}{prod num_i!})
不会证……NOIP初赛的资料上的……
枚举出来的东西不会太多，具体是多少，其实我也没有统计……郑姐说是(40000)到(80000)。
判断它们是否可以组成“完美的数”就用上面说的那个二进制优化背包的方法。
然后统计答案的时候像正常的数位DP一样卡着它的上限，如果当前位选的数小于边界，后面的就可以随便选，用公式算就好了。
所以这题还算是个数位DP吧……这是数位DP的特征啊……
代码
using namespace std;
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
int pow10[10],fac[10];
int low,up,w;
int lim;
int num[10];
int ans;
inline bool ok(){
unsigned long long f=1;
int s=0;
for (int i=0;i<=9;++i){
for (int j=1;j<=num[i];++j)
f|=f<<i;
s+=i*num[i];
}
return ((s&1^1) && (f>>(s>>1)&1));
}
inline int calc(int m){
int fm=1;
for (int i=0;i<=9;++i)
fm*=fac[num[i]];
return fac[m]/fm;
}
inline void dfs(int p){
int th=lim/pow10[p]%10;
for (int i=0;i<th;++i)
if (num[i]){
num[i]--;
ans+=calc(p);
num[i]++;
}
if (num[th] && p){
num[th]--;
dfs(p-1);
num[th]++;
}
}
void find(int k,int s){
if (s==w){
if (ok())
dfs(w-1);
return;
}
if (k>9)
return;
for (int i=0;i<=w-s;++i){
num[k]=i;
find(k+1,s+i);
}
num[k]=0;
}
int get_ans(int x){
lim=++x;
w=0;
for (int tmp=lim;tmp;tmp/=10,++w);
ans=0;
find(0,0);
return ans;
}
int main(){
pow10[0]=1;
for (int i=1;i<=9;++i)
pow10[i]=pow10[i-1]*10;
fac[0]=1;
for (int i=1;i<=9;++i)
fac[i]=fac[i-1]*i;
scanf("%d%d",&low,&up);
printf("%d
",get_ans(up)-get_ans(low-1));
return 0;
}
总结
在遇到会出现重复的问题是，可以试着换个角度，避免重复。