牛客挑战赛44 D 数列的和

https://ac.nowcoder.com/acm/contest/8051/D

一个长度为(n)的数列满足(sum a_ile m)，它的贡献为((m-sum a_i)(prod (a_i+K)^2-K^2))

求所有的这样的数列的贡献和。

(n,m,Kle 10^6)

---

生成函数吼题。

答案为(sum(m-j)[x^j](sum(i+2K)ix^i)^n)

先用个比较优美的方式表示(sum(i+2K)ix^i)：
(sum(i+2K)ix^i=sum i(i+1)x^i+sum(2K-1)x^i=frac{2x}{(1-x)^3}+frac{2K-1}{(1-x)^2})

（总结一下：当要把形如(sum_iF(i)x^i)的式子化成封闭的优美形式时，可以把(F(x))变成上升幂多项式）

继续推：

((frac{2x}{(1-x)^3}+frac{2K-1}{(1-x)^2})^n=frac{2^nx^n}{(1-x)^{2n}}(frac{1}{1-x}+c)^n=2^nsum_{i=0}^nfrac{x^n}{(1-x)^{2n+i}}inom{n}{i}c^{n-i})

(c)为常数。

(sum_{j=n}^m(m-j)[x^j]2^nsum_{i=0}^nfrac{x^n}{(1-x)^{2n+i}}inom{n}{i}c^{n-i}=2^nsum_{j=n}^m(m-j)sum_{i=0}^ninom{i+j+n-1}{i+2n-1}inom{n}{i}c^{n-i}=2^nsum_{i=0}^ninom{n}{i}c^{n-i}sum_{j=n}^m(m-j)inom{i+j+n-1}{i+2n-1})

(sum_{j=n}^m(m-j)inom{i+j+n-1}{i+2n-1}=sum_{j=n}^msum_{k=j+1}^minom{i+j+n-1}{i+2n-1}=sum_{k=n}^msum_{j=n}^{k-1}inom{i+j+n-1}{i+2n-1}=inom{i+n+m}{i+2n+1})

所以答案为(2^nsum_{i=0}^ninom{n}{i}c^{n-i}inom{i+n+m}{i+2n+1})

可以(O(n))解决。

---

using namespace std;
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define N 2000010
#define ll long long
#define mo 998244353
ll qpow(ll x,ll y=mo-2){
	ll r=1;
	for (;y;y>>=1,x=x*x%mo)
		if (y&1)
			r=r*x%mo;
	return r;
}
ll fac[N],ifac[N];
void initC(int n){
	fac[0]=1;
	for (int i=1;i<=n;++i)
		fac[i]=fac[i-1]*i%mo;
	ifac[n]=qpow(fac[n]);
	for (int i=n-1;i>=0;--i)
		ifac[i]=ifac[i+1]*(i+1)%mo;
}
ll C(int m,int n){
	if (m<n) return 0;
	return fac[m]*ifac[n]%mo*ifac[m-n]%mo;
}
int n,m,k;
int main(){
	freopen("in.txt","r",stdin);
	freopen("out.txt","w",stdout);
	scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
	initC(m*2+n*2);
	ll c=(2*k-1+mo)*qpow(2)%mo,invc=qpow(c);
	ll ans=0;
//	for (int j=n;j<=m;++j){
//		ll s=0;
//		for (int i=0;i<=n;++i)
//			(s+=C(n,i)*qpow(c,n-i)%mo*C(i+j+n-1,j-n))%=mo;
//		(ans+=s*(m-j))%=mo;
//	}
//	ans=ans*qpow(2,n)%mo;
	for (int i=0;i<=n;++i){
		ll s=C(i+n+m,i+2*n+1);
//		for (int k=n;k<=m;++k)
//			s+=C(i+n+k-1,i+2*n);
//		s%=mo;
		(ans+=C(n,i)*qpow(c,n-i)%mo*s)%=mo;
	}
	ans%=mo;
	ans=ans*qpow(2,n)%mo;
	printf("%lld
",ans);
	return 0;
}