LOJ2262. 「CTSC2017」网络

一棵树，有边权。你需要加一条长度固定、点没有固定的边进去，使得两两点之间最大距离最小。问这个最小的最大距离。

(nle 10^5)

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手玩一下可以猜到加入的边两个端点一定在直径上。证明大概考虑如果不是加在直径上可以调整使其更优。于是我证了几种情况就懒得继续分类讨论下去了，不知道有没有路过的大佬指点一下比较简洁的做法。

求出直径上挂着的子树内部的直径长度，这些是不可避免的，要作为下界。上界为直径长度。二分答案、

问题：设(p_i)为前缀和，(d_i)表示(i)点往下伸的最长长度。需要找到一对点(u<v)，使得对于任意(x<y)满足一下条件之一：

1. (d_y+d_x+p_y-p_xle ans)
2. (d_y+d_x+|p_y-p_v|+|p_x-p_u|le ans)。拆掉绝对值分成四条式子，要求这些式子都满足。

于是可以排序+树状数组得到(pm p_upm p_v)的最紧的限制。最后的问题是找到合适的(u,v)。枚举(u)，发现对于四个限制(v)都是个前缀或后缀，并且都是随(u)增大而单调变化的。用四个指针搞一搞即可。

(O(nlg nlg R))

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using namespace std;
#include <bits/stdc++.h>
#define N 100005
#define ll long long
int n,K;
struct EDGE{
	int to,w;
	EDGE *las;
} e[N*2];
int ne;
EDGE *last[N];
void link(int u,int v,int w){
	e[ne]={v,w,last[u]};
	last[u]=e+ne++;	
}
int fa[N],len[N];
ll dis[N];
void getdis(int x){
	for (EDGE *ei=last[x];ei;ei=ei->las)
		if (ei->to!=fa[x]){
			fa[ei->to]=x;
			len[ei->to]=ei->w;
			dis[ei->to]=dis[x]+ei->w;
			getdis(ei->to);
		}
}
ll f[N],g[N];
int tot;
ll p[N],d[N];
ll L,R;
void dp(int x,int ban=0){
	f[x]=g[x]=0;
	ll fir=0,sec=0;
	for (EDGE *ei=last[x];ei;ei=ei->las)
		if (ei->to!=fa[x] && ei->to!=ban){
			dp(ei->to);
			g[x]=max(g[x],g[ei->to]);
			ll t=f[ei->to]+ei->w;
			f[x]=max(f[x],t);
			if (t>fir)
				sec=fir,fir=t;
			else if (t>sec)
				sec=t;
		}
	g[x]=max(g[x],fir+sec);
}
void init(){
	fa[1]=0,dis[1]=0,getdis(1);
	int S=1;
	for (int i=2;i<=n;++i)
		if (dis[i]>dis[S])
			S=i;
	fa[S]=0,dis[S]=0,getdis(S);
	int T=1;
	for (int i=2;i<=n;++i)
		if (dis[i]>dis[T])
			T=i;
	L=0;
	R=dis[T];
	p[tot=1]=0;
	for (int x=fa[T],y=T;x;y=x,x=fa[x]){
		++tot;
		p[tot]=p[tot-1]+len[y];
		dp(x,y);
		d[tot]=f[x];
		L=max(L,g[x]);
	}
}
#define INF (1ll<<50)
int q0[N],q1[N];
bool cmp0(int x,int y){return d[x]+p[x]<d[y]+p[y];}
bool cmp1(int x,int y){return d[x]-p[x]<d[y]-p[y];}
struct TA{
	ll t[N];
	void init(){
		for (int i=1;i<=tot;++i)
			t[i]=INF;
	}
	void ins(int x,ll c){
		for (;x<=tot;x+=x&-x)
			t[x]=min(t[x],c);
	}
	ll query(int x){
		ll r=INF;
		for (;x;x-=x&-x)
			r=min(r,t[x]);
		return r;
	}
} ta[2];
bool judge(ll ans){
	ta[0].init();
	ta[1].init();
	ll lim[4]={INF,INF,INF,INF};
	for (int j=1,i=tot;j<=tot;++j){
		for (;i>=1 && d[q0[j]]+p[q0[j]]+d[q1[i]]-p[q1[i]]>ans;--i){
			ta[0].ins(q1[i],-d[q1[i]]+p[q1[i]]);
			ta[1].ins(q1[i],-d[q1[i]]-p[q1[i]]);
		}
		lim[0]=min(lim[0],ans-K-d[q0[j]]+p[q0[j]]+ta[0].query(q0[j]-1));
		lim[1]=min(lim[1],ans-K-d[q0[j]]+p[q0[j]]+ta[1].query(q0[j]-1));
		lim[2]=min(lim[2],ans-K-d[q0[j]]-p[q0[j]]+ta[0].query(q0[j]-1));
		lim[3]=min(lim[3],ans-K-d[q0[j]]-p[q0[j]]+ta[1].query(q0[j]-1));
	}
	p[0]=-INF,p[tot+1]=INF;
	int q[4]={tot,1,1,tot};
	for (int i=1;i<tot;++i){
		for (;q[0]>=1   && +p[i]+p[q[0]]>lim[0];--q[0]);
		for (;q[2]<=tot && +p[i]-p[q[2]]>lim[2];++q[2]);
		for (;q[1]<=tot && -p[i]+p[q[1]]<=lim[1];++q[1]);
		for (;q[3]>=1   && -p[i]-p[q[3]]<=lim[3];--q[3]);
		int r=min(q[0],q[1]-1),l=max(max(q[2],q[3]+1),i+1);
		if (l<=r)
			return 1;
	}
//	for (int i=1;i<tot;++i)
//		for (int j=i+1;j<=tot;++j){
//			if (+p[i]+p[j]<=lim[0] && 
//				-p[i]+p[j]<=lim[1] &&
//				+p[i]-p[j]<=lim[2] &&
//				-p[i]-p[j]<=lim[3])
//					return 1;
//		}
	return 0;
}
ll work(){
	for (int i=1;i<=tot;++i)
		q0[i]=q1[i]=i;
	sort(q0+1,q0+tot+1,cmp0);
	sort(q1+1,q1+tot+1,cmp1);
	ll res=-1;
	while (L<=R){
		ll mid=L+R>>1;
		if (judge(mid))
			R=(res=mid)-1;
		else
			L=mid+1;
	}
	return res;
}
int main(){
	freopen("in.txt","r",stdin);
	while (1){
		scanf("%d%d",&n,&K);
		if (n==0 && K==0)
			return 0;
		ne=0;
		memset(last,0,sizeof(EDGE*)*(n+1));
		for (int i=1;i<n;++i){
			int u,v,w;
			scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
			link(u,v,w),link(v,u,w);
		}
		init();
		ll ans=work();
		printf("%lld
",ans);
	}
	return 0;
}