CF1438F

交互题。

一棵高度为(h)的满二叉树（(n=2^h-1)），编号顺序打乱。你需要通过至多(n+420)次询问操作找出这棵树的根。

询问为((u,v,w))表示以(w)为根的(LCA(u,v))。

(3le hle 18)

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显然询问((u,v,w))相当于找到一个点，使得(u,v,w)在这个点的不同子树内。因此询问顺序和返回值无关。

自己的辣鸡想法：维护一棵树，增量构造，假设加入点(x)，对这棵树重链剖分，每次询问((S,T,x))，(S,T)表示重链的两段。如果询问结果(y)是出现过的点，则可以确定(x)在(y)的轻儿子中，继续下去找，这部分总共最劣是(O(h))；如果(y)没有出现，就二分出它在哪两个点之间，插进去，并且把(x)连向它，这部分最劣是(O(lg h))。总共的次数(O(n(h+lg h)))，显然过不去，但是可以构出整棵树。

正解：搞一个桶。随机(420)个三元组((u,v,w))（三者不相同），设返回值为(t)。如果(t otin {u,v,w})，把它加入桶中。然后把桶中出现次数最多的两个点取出来，它们大概率都是根的儿子；然后用(O(n))次询问就可以问出根是什么。

对于某个点(t)，记它的三个子树大小为(s_1,s_2,s_3)，可以贡献到的三元组个数(count(t)=s_1s_2s_3)。

显然叶子和根的(count)为(0)。剩下的，对于深度为(i)的子树，贡献为((2^{h-i}-1)^2(2^h-2^{h-i+1}))，由于三个东西和一样，所以和尽量一样时取到最大值，这时候(i=2)，也就是根的两个儿子。

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using namespace std;
#include <bits/stdc++.h>
#define N (1<<18)+5
mt19937 ran(time(0)^*new(int));
#define random(l,r) (ran()%((r)-(l)+1)+(l))
int h,n;
int c[N];
int query(int u,int v,int w){
	int t;
	printf("? %d %d %d
",u,v,w);
	fflush(stdout);
	scanf("%d",&t);
	return t;	
}
void answer(int x){
	printf("! %d
",x);
}
int main(){
	scanf("%d",&h);
	n=(1<<h)-1;
	for (int i=1;i<=420;++i){
		int u,v,w,t;
		do
			u=random(1,n),v=random(1,n),w=random(1,n);
		while (u==v || v==w || u==w);
		fflush(stdout);
		t=query(u,v,w);
		if (t!=u && t!=v && t!=w)
			c[t]++;
	}
	int fir=1,sec=2;
	if (c[fir]<c[sec])
		swap(fir,sec);
	for (int i=3;i<=n;++i)
		if (c[i]>c[fir])
			sec=fir,fir=i;
		else if (c[i]>c[sec])
			sec=i;
	for (int i=1;i<=n;++i)
		if (i!=fir && i!=sec){
			int t=query(fir,sec,i);
			if (t==i){
				answer(i);
				return 0;
			}
		}
	return 0;
}