[HNOI2008]玩具装箱TOY

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这题可以说是斜率优化DP的模板题。
首先，我们先推推它的DP式：

f[i]=min{f[j]+(i-(j+1)+c[i]-c[j]-l)²}；

这里的c[i]表示的是原来的c[1~i]的和

f[i]表示以i为末尾的箱子的最小费用（前面不一定是全部）

然后我们假设k<j<i，i从j转移比从k转移更优。
那么我们就可以得到一个式子：

f[j]+(i-(j+1)+c[i]-c[j]-l)²<f[k]+(i-(k+1)+c[i]-c[k]-l)²

我们可以将c[i]再表示为c[1~i]+i，这样就简单很多了。
改改DP式：f[i]=min{f[j]+(c[i]-c[j]-l-1)²}；
f[j]+(c[i]-c[j]-l-1)²<f[k]+(c[i]-c[k]-l-1)²
我们用换元法，设x=c[j]-l-1,y=c[k]-l-1
f[j]+(c[i]-x)²<f[k]+(c[i]-y)²
f[j]+c[i]²-2 * c[i] * x +x²<f[k]+c[i]²-2 * c[i] * y+y²
f[j]-f[k]+x²-y²<2 * c[i] * (x-y)
f[j]-f[k]+x²-y²<2 * c[i] * (c[j]-c[k])
(f[j]-f[k]+x²-y²)/(c[j]-c[k])<2*c[i]

nice！！！

上标：

#include<cstdio>
#define N 50010
#define db double
#define ll long long
using namespace std;
int n,L,g[N],len=0,l=0;
ll c[N],f[N];db ii;

inline int read()
{
	int x=0; char c=getchar();
	while (c<'0' || c>'9') c=getchar();
	while (c>='0' && c<='9') x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=getchar();
	return x;
}

inline ll sqr(ll x) {return x*x;}

db solve(int x,int y)
{
	return (db)(f[x]+sqr(c[x]+L+1)-f[y]-sqr(c[y]+L+1))/(c[x]-c[y]);
}

int main()
{
	freopen("P3195.in","r",stdin);
	freopen("P3195.out","w",stdout);
//	f[i]=min{f[j]+(c[i]-c[j]-L-1)^2};c[i]=c[1~i]+i
	n=read(),L=read();
	for (int i=1;i<=n;i++) c[i]=c[i-1]+read();
	for (int i=1;i<=n;i++) c[i]+=i;
	for (int i=1;i<=n;i++)
	{
		while (l<len && solve(g[l],g[l+1])<2*c[i]) l++;
		f[i]=f[g[l]]+sqr(c[i]-c[g[l]]-L-1);
		while (solve(g[len-1],g[len])>solve(g[len],i) && len) len--;
		g[++len]=i;
	}
	printf("%lld
",f[n]);
	return 0;
}